【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】复变函数解析的判定及其应用

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（20__届）本科毕业论文复变函数解析的判定及其应用 摘要：解析函数是在某一复数域内处处可微的函数,是复变函数论研究的主体内容.本文首先归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条件、必要条件和充要条件；其次，介绍解析函数的性质及函数解析与可导的区别和联系；最后，通过实例分析熟悉解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数计算等方面的应用.关键词：解析函数；积分；微分；幂级数 CriterionandApplicationforAnalyticFunctionofComplex-variableFunctionAbstract：Afunctionofthecomplexvariableisanalyticinanopensetifithasaderivativeateachpointinthatset.AnditisthesubjectcontentintheresearchofComplex-variableFunction.Firstly,allkindsofthecriterionsforAnalyticFunctionwereintroducedinthispaper,includingsufficientcondition,necessaryandsufficientcondition.Secondly,thepaperaimedatintroductionofthecharacterofAnalyticFunction,andthedifferenceandconnectionbetweenanalyticfunctionanddifferentiablefunction.Finally,theapplicationofAnalyticFunctionindifferentialcalculus,integralcalculus,expansionintopowerseriesandcalculationofresidueswasanalysedwithexamples.Keywords：AnalyticFunction,integralcalculus,differentialcalculus,powerseries 目录1引言12解析函数的判定22.1柯西-黎曼方程22.2柯西积分定理42.3调和函数52.4幂级数83解析函数的性质93.1解析函数的无穷可微性93.2平均值公式及最大模原理103.3解析函数的泰勒展式113.4解析函数的零点孤立性及惟一性定理134解析函数的应用164.1微分和积分164.2幂级数展开174.3留数理论及应用185结束语216致谢227参考书23 1引言为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上.用符号“”作为虚数的单位，也是他首创的.19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用.20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切.致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用.并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等.另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型.复变函数研究的中心对象是所谓解析函数.因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论.解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，惟一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用.解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题.本文分解析函数的判定、解析函数的性质及解析函数的应用三个单元.在解析函数的判定部分，本文着重介绍了除解析函数的定义外的其他五种判定复变函数解析的充要条件，并通过一二个例子加深理解；在解析函数的性质部分，本文主要研究解析函数的无穷可微性，惟一性定理，最大模原理以及在解析点附近可以展开幂级数等，同时辅以一些例子加以说明；最后，在解析函数的应用部分，本文通过具体实例介绍了解析函数在微分、积分、幂级数展开等方面的应用，重点介绍在留数计算方面的应用.30 2解析函数的判定如果函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数，也称为内的全纯函数或正则函数[1].给定一个复变函数，判断其在区域内是否解析是学习复变函数论的一个难点.若能用导数的定义式或求导法则证实复变函数在区域内处处可导，则由解析函数的定义就可判定在区域内是解析的.但这种方法有很大的局限性，对于一些抽象复杂的函数并不适用，本单元将归纳总结出复变函数解析的其他五种等价条件.2.1柯西-黎曼方程若函数于点处可导，则在点必有，（2-1）式(2-1)就称为柯西-黎曼方程（简称C-R方程）[2].可见，可导的复变函数的实部和虚部并不是随便拼起来的，它们之间有密切的联系.我们可根据此命题的逆否命题来判断函数的不可导性，即若在不满足式（2-1）(C-R方程)，则在不可导.以下介绍的两个定理是从柯西-黎曼方程出发刻画的解析函数的等价定理.定理2.1函数在区域内解析的充要条件是：（1）二元函数、在区域内可微；（2）、在内满足C-R方程.定理2.2函数在区域内解析的充要条件是：（1），，，在内连续；（2）、在内满足C-R方程.因为二元函数、在区域内可微等价于其在内偏导存在且连续，所以这两个定理本质上讲的内容是一样的.结合C-R方程来判定一个函数是否解析或可导是常采用的比较方便的方法.还要注意的是，在利用C-R方程来判定的可导或解析性时，不能忽视对实部、虚部的可微性的考察.30 例2.1设，且试指出的解析区域，并求出其导数.解因则有故当时，，，即C-R条件成立，且，，，在的点都连续，因而可知在的点解析，且（）本题是利用可导与解析的判别方法确定解析区域，然后用求导公式求其导数.值得注意的是，求解析区域时必须同时满足以上任一定理中的两个条件.下面这个例题告诉我们只满足C-R方程是不足以说明一个复变函数是否解析的.30 例2.2设，试证在原点满足柯西-黎曼方程，但不可导.证明令，则；因为所以，，即柯西-黎曼方程在原点（0,0）处成立.但当沿直线趋于0时，有显然极限不存在，故函数在处不可导.复变函数在区域内可导等价于在区域内解析.但复变函数在点处解析，不仅要求在该点处的导数存在，而且存在的一个领域，该领域内所有的点处，都可导.由此可见，函数在一点处解析的要求要比可导的要求严格得多.2.2柯西积分定理首先这里要叙述一些相关定义和定理.定义2.1逐段光滑的简单闭曲线叫周线[1].柯西积分定理：设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则30 .摩勒拉定理：若函数在单连通区域内连续，且对内的任一条周线，有，则在内解析[3-5].下面我们着重指出从柯西积分定理出发刻画的解析函数的等价定理.定理2.3函数在区域内解析的充要条件是:（1）在区域内连续；（2）对任一周线，只要及其内部全含于内，就有.这个定理一般很少拿来判定复变函数是否在某个区域内解析，更多的是用于计算或者证明跟复变函数的积分有关的问题.之后在解析函数的性质和相关应用两个部分还将对此做进一步的了解.2.3调和函数设在区域内解析，则由C-R方程，得，因和在内连续，它们必定相等，故在内有，同理，在内有，即及在内满足拉普拉斯方程：，.这里是一种运算记号，称为拉普拉斯算子[6].定义2.2如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数[6].定义2.3在区域内满足C-R方程30 ，的两个调和函数，中，称为在区域内的共轭调和函数[6].有了以上两个定义就可以得出刻画解析函数的又一等价定理.定理2.4函数在区域内解析的充要条件是：在区域内是的共轭调和函数.值得注意的是，是的共轭调和函数，其中和并不能任意交换顺序.因为如果是的共轭调和函数，那么根据C-R方程可得，，即的共轭调和函数为（其中为任意常数）.例2.3设为区域内的调和函数及.问是不是内的解析函数？为什么？解是内的解析函数.这是因为由为内的调和函数知具有二阶连续偏导，且满足拉普拉斯方程，这就意味着，存在一阶连续偏导，即和在区域内可微，而且，，，，故有C-R方程成立.因而在区域内解析.30 例2.4如果和都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而，，那么是的解析函数.证明因为，，所以，，，.又，具有连续二阶偏导函数，所以混合偏导相等，即，，且满足拉普拉斯方程，.故即由，具有二阶连续偏导，所以，，，均存在且连续，则，是关于，可微的且满足C-R方程，因而是的解析函数.值得注意的是，若是区域内的解析函数，则它的实部和虚部都是区域上的调和函数.反之却不成立.因为根据定理2.4，二元函数和在区域上还得满足C-R方程.下面就此给出一个反例.例2.5证明和都是调和函数，但不是解析函数.证明因为，，，，故.所以是调和函数.又因为，，，，从而，即也是调和函数.由C-R方程有30 ，即可以看到使C-R方程成立的，应满足或（），它们不构成区域，因而不是解析函数.2.4幂级数具有形式的复函数项级数称为幂级数，其中和都是复常数[1].幂级数是最简单的解析函数项级数.任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数，这个性质很重要.但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的，即有（泰勒定理）设函数在区域内解析，，只要圆含于，则在内能展成幂级数，其中系数.由此下面给出刻画解析函数的第五个等价定理.定理2.5函数在区域内解析的充要条件为:在内任一点的领域内可展成的幂级数，即泰勒级数.至此本单元共归纳总结了函数在区域内解析的包括定义在内的六种等价说法.另外，若函数是由两个解析函数的和、差、积、商或复合而成，则为解析函数.其中对于商的情形要除去使分母为零的点；解析函数与复合时，关于解析域的象集含于的解析域，复合函数在区域上解析.30 3解析函数的性质解析函数的研究之所以如此重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等.本单元将逐一介绍解析函数这几个完美的性质.3.1解析函数的无穷可微性首先把数学分析中有关求导法则推广到复变函数，就有：1).2).3).4),其中.5),其中与是两个互为反函数的单值函数，且.当然，这些法则的成立，要求各式右边出现的微商都存在.对复变函数的可导有了初步的了解之后，我们再来看复变函数的积分.复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具.解析函数的许多重要性质都要利用复积分来证明，例如本单元所述的解析函数的无穷可微性.上个单元已经介绍了复变函数论的基本定理——柯西积分定理，即若函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.接着我们要介绍复变函数论的基本公式——柯西积分公式，即设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有（）.它是解析函数的积分表达形式.我们把柯西积分公式形式地在积分号下对求导后得（），这样继续一次又可得（）.由此下去可得若区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在30 上连续，则在内有各阶导数，并且有（），（=1,2,…）.利用数学归纳法可以证明上述命题是真的.应用这个命题，我们得到解析函数的无穷可微性：定理3.1设函数在平面上的区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也在内解析[1].这样，由复变函数在区域内解析，就可以推出其各阶导数在内存在且连续.而数学分析中区间上的可导函数，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了.例3.1计算复变函数积分，为正向圆周.解由复积分的运算性质可知其中（3-1）（3-2）式（3-2）成立是因为函数在除去点的复平面上处处解析，即在曲线及其内部解析，利用柯西积分定理可得结果.于是有.在复变函数积分的计算中利用解析函数的柯西积分定理求积分是重要的方法之一.一些复变函数积分若用基本积分方法求值会十分繁琐，甚至无法算出结果.3.2平均值公式及最大模原理下面简单介绍另几个有柯西积分公式所得到的解析函数的性质.平均值公式设在闭圆上解析，则在圆心的值，等于它在圆周上的值的算术平均值，即，其中是圆周，是上的弧长的微分[7].30 证明对圆周上的点，有，（）.于是，由柯西积分公式，得.从平均值公式，可以得到解析函数理论中的一个重要原理，即最大模原理设在有界域内解析，在有界闭域上连续，这里是的边界，并且不恒等于常数，那么它的模只能在边界上取到它在整个有界闭域上的最大值[7].这里再补充一个关于解析函数导数模的估计.设函数在区域内解析，以内任一点为圆心，作一个包含在内的圆周：，设是在上的最大值，则.这个关系称为柯西不等式，特别当时，有.例3.3如果在内解析，并且.证明：（=1,2，…）证明由柯西积分公式，，于是利用积分不等式令，这样便有.3.3解析函数的泰勒展式在数学分析中，某领域内具有任意阶导数的实函数不一定能在此领域内展开成幂级数.然而，对于某圆内的解析函数却有如下深刻地结果：定理3.2(泰勒定理)设函数在区域内解析，，只要圆含于，则在内能展成幂级数30 ，（3-5）其中系数（，；=0,1,2，…）.式（3-5）称为函数在点处的泰勒展式，右端的级数称为在点的泰勒级数，泰勒系数可以用积分形式表示出，也可以用微分形式表示出.利用柯西积分公式及熟知的公式（）就可得到解析函数的这一特征性质.且由柯西不等式可知，若函数在内解析，则其泰勒系数满足柯西不等式（，=0,1,2，…）.显然泰勒级数的收敛半径大于或等于.对于比较复杂的函数要展成泰勒级数，写出任意阶导数是困难的.为避免直接计算，可能的话，最好用其他的一些简便的方法间接地写出解析函数的泰勒展式，这就需要再讨论解析函数幂级数展开式的惟一性.定理3.3若函数在某圆盘内解析，则在此圆盘内的幂级数展式是惟一的，因此一定是泰勒级数[8].根据幂级数展式的惟一性，可得如下几个初等函数的展式：，；，；，.它们分别是，，在点处的泰勒展式，并且它们可用来间接地求一些函数的泰勒展式.例3.4每一个在点连续的函数一定可以在的领域内展成泰勒级数.这个说法是否正确？为什么？30 解不正确.例如函数在的领域内不能展成泰勒级数，只有函数在点处解析，才一定可以在的领域内展成泰勒级数，在点连续的函数几乎不能在的领域内展成泰勒级数.3.4解析函数的零点孤立性及惟一性定理所谓解析函数的惟一性是指区域内定义的解析函数可以由比较少的条件所惟一确定.为了获得解析函数的这种性质，首先从解析函数零点的性质谈起.定义3.1若函数在解析，且，则称为解析函数的零点[8].依泰勒定理，在的领域有展式.这是只有下列两种情形：（1）若，=0,1,2，…，则在内恒等于零.（2）若，，则称为的m阶点。特别是当m=1时，也称为的单零点.此时在内不恒为零.在这种情形下，，其中，在解析.反之容易证明，若，其中，在解析，则在有m阶零点.所以，为解析函数的m阶零点的充要条件是：，其中，在解析.因为，在解析，当然更在连续，于是存在，使得当时，.也就是说，存在的领域，除时以外，对其余的，，这一性质称为解析函数零点的孤立性.30 综合以上讨论可得到如下定理：定理3.4如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个领域，使得在其中无异于的零点[9-10].（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是鼓孤立的.）由这一性质出发，我们可得到解析函数的惟一性定理.定理3.5设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，若（=1,2，…），则在内，[8].推论3.6设在区域内解析的函数和在内的某一区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域内恒等.推论3.7一切在实轴上成立的恒等式（例如，，等等），在平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在平面上都是解析的.定理3.5，推论3.6，和推论3.7在引用时统称为解析函数的惟一性定理，它揭示了解析函数在区域内的局部值确定了函数在区域内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系.从上面可以看到，解析函数的惟一性和零点的孤立性都是从解析函数可以展成幂级数这一事实推出来的.在数学分析中，一个区间上处处可微的函数不一定可以展成幂级数，从而，零点孤立性和惟一性都不成立.例如实变函数：，在点可微，在实轴上其它地方也处处可微，且以为一个零点.但（=1,2，…）也是它的零点，并以为聚点.所以尽管这里函数不恒为零，而却不是一个孤立零点[11-12].例3.5设（1）函数及在区域内解析；（2）在内，试证：在内或.证明若有使，因在点连续，故存在的领域，使在内恒不为零.而由题设（），故必有（）.由惟一性定理（推论3.6）知（）.30 本单元主要讲解解析函数的重要性质.虽然复变函数的导数定义在形式上与实变函数的定义完全一样，关于微商运算的基本法则也与实的情形相同，但解析函数与可导函数却有着深刻的差异.函数在某一点解析，它不仅在这一点可导，而且在该点的领域内处处可导.从而使解析函数和可导函数有着本质上的区别.从上面我们可以看出解析函数具有无穷可微性、惟一性等性质，但这些仅仅是可导函数却是办不到的.也正是由于这些特殊的性质，才构成了复变函数这门学科的内容.30 4解析函数的应用解析函数有着很好的性质，自然也有着广泛的应用.本单元将从解析函数的微分、积分、幂级数展开及留数计算等方面介绍解析函数的应用，在留数计算方面会先简单介绍一下相关的留数定理，再讲解如何用留数定理计算实积分.4.1微分和积分首先，柯西积分定理告诉我们函数在其解析的单连通区域内积分与路径无关；其次，柯西积分公式给出了解析函数的积分表达形式，因而提供了今后我们研究解析函数各种局部性质的重要工具；然后，高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数公式为（其中为函数在解析区域内绕点的任一条正向简单闭曲线），说明复变函数在区域内处处可导，则在区域内有任意阶导数.解析函数高阶导数公式的意义不在于我们用积分来求导数值，而在于用导数求曲线积分.即若函数在及的内部解析，是正向简单闭曲线，则.值得注意的是，在上式中是被积函数在内部的惟一奇点，如果在的内部有两个以上的奇点，就不能直接应用它们[13-14].例4.1计算复变函数积分，其中为不过0,1的正向简单闭曲线.解（1）若点0,1均不在曲线的内部，被积函数在以为边界的有界闭区域上解析，故由柯西积分定理，有.（2）若点1在的内部，点0在的外部，由于被积函数在以为边界的有界闭区域上除外处处解析，则由柯西积分公式得.30 （3）若点0在的内部，点1在的外部，这时被积函数在以为边界的有界闭区域上除外处处解析，由高阶导数公式得（4）点0，1均在曲线的内部，显然此时被积函数在以为边界的有界闭区域上除外处处解析.任作两条闭曲线，，使得，均含于曲线的内部，且与不相交，方向均为逆时针方向，且点0在曲线的内部，点1在曲线的内部，于是由复合闭路定理有.4.2幂级数展开级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表为级数不仅有理论上的意义，而且也有实用的意义.例如，利用级数可以计算函数的近似值；在许多带有应用性质的问题中(如解微分方程等)也常常用到级数.对于开圆盘（）这样的区域，关于收敛的幂级数与其上解析函数之间是一一对应的.幂级数的和函数在其收敛圆内解析，而若函数在点处解析，也一定可以在的领域内展成关于收敛的幂级数.这样解析函数的性质可通过幂级数的研究得到，同样幂级数的性质也可通过解析函数来反映.例如解析函数经＋，－，×，÷（分母不为零）和复合后仍是解析函数，因而同样的幂级数在相应收敛区域内也可作＋，－，×，÷（分母不为零）和复合的运算.例4.4把函数展开成的幂级数，并指出它的收敛半径.解根据“若函数在处解析，那么使在的泰勒展开式成立的圆域的半径就等于从到的距最近的一个奇点之间的距离”，可知由于仅有一个奇点，故在处的泰勒展开式的收敛半径，即的幂级数展开式的收敛半径，在内可展开幂级数.30 将及的幂级数展开式做复合运算，并利用幂级数的乘法运算规律，可知，当时，有，其中，.4.3留数理论及应用留数理论是柯西积分理论的继续，留数在复变函数论本身及其实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系.定义4.1设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心领域内解析，则称积分（，）为在点的留数，记为[15-17].定理4.1（柯西留数定理）在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则.留数定理把计算周线积分的整体问题，化为计算各孤立奇点处留数的局部问题.为了应用留数定理求周线积分，首先应该掌握求留数的方法.而计算在孤立奇点的留数时，我们只关心其洛朗展式中这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法.下面介绍求n阶极点处留数的公式.定理4.2设为的n阶极点，，其中在点解析，，则，这里符号代表，且有.不过这个公式对于阶数过高（例如超过三阶）的极点，计算起来也未必简单.30 但是以下两种情形须牢记：（1）若为的一阶极点，，则；（2）若为的二阶极点，，则.定理4.3设为的一阶极点（只要及在点解析，且，，），则.例4.5计算积分.解显然，被积函数在圆周的内部只有一阶极点及二阶极点，则，，故由留数定理得.例4.6计算积分（为正整数）.解只以，（）为一阶极点，由定理4.3得，（）.于是，由留数定理得.在某些情况下利用留数计算积分是十分有效的，特别当被积函数的原函数不易求得以及广义积分计算时更突显其突出的作用.利用复积分来计算实积分，要点是选择适当的路径及函数，将其转化成沿闭路的积分，再利用留数定理.这里我们着重介绍形如的积分.表示的有理函数，并且在上连续.若命，则，，，30 当经历变程时，沿圆周的正方向绕行一周，因此有，右端是的有理函数的周线积分，并且积分路径上无奇点，应用留数定理就可求得其值.例4.7计算积分.解令，则，，于是.30 5结束语复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，它的理论基础是在19世纪奠定的，柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼是这一时期的三位代表人物.复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果.解析函数论是复变函数论中最重要的分支之一.本文在已知解析函数定义的基础上归纳总结了解析函数的各种判定条件和性质，以及解析函数在微分、积分、泰勒展式和留数计算等方面的应用，同时对每部分都引用了适量的例子加深理解.由于笔者能力有限，本文所研究的内容皆处于理论阶段，对解析函数在生活实践中的运用有兴趣的读者可以参考相关文献。30 7参考书[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[2]苑延华,张晓光,邓慧.复变函数知识要点与习题解析[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2006.[3]郑建华.复变函数[M].北京:清华大学出版社,2005.[4]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996.[5]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1996.[6]余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2000.[7]严镇军.复变函数(第二版)[M].安徽:中国科学技术大学出版社,2010.[8]路见可,钟寿国,刘士强.复变函数(修订版)[M].湖北:武汉大学出版社,2004.[9]扈培础.复变函数教程[M].北京:科学出版社,2008.[10]崔书英.解析函数零点的分布问题[J].山东教育学院学报,2005,1:96-98.[11]杜迎雪,许小艳.复变函数的可导性与解析性[J].中国科技信息,2006,13:272-287.[12]JamesWardBrown,RuelV.Churchill.ComplexVariablesandApplications(SeventhEdition)[M]:ChinaMachinePress,2004.[13]谭小江,伍胜键.复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版社,2006.[14]朱经浩.复变函数教程[M].上海:同济大学出版社,2005.[15]何彩香,张晓玲.复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质[J].大理学院学报,2010,9(4):17-19.[16]余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2000.[17]JamesPierpont.FunctionsofaComplexVariable[M]:DoverPublications,2005.30 文献综述复变函数解析的判定及其应用一、前言部分为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。用符号“”作为虚数的单位，也是他首创的。19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论。解析函数是在某一区域内处处可微的复变函数[1]。除了用定义判定一个复变函数是否解析之外，经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。通过本课题的研究，旨在全面总结复变函数解析的判定，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用。本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数的历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述。二、主题部分在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数与流函数有连续的偏导数，且满足偏微分方程组，30 ，并指出是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。函数在区域内解析的充要条件:一是二元函数、在区域内可微，且、在区域内满足C.-R.方程；二是，，，在内连续，且、在内满足C.-R.方程；三是在区域内连续，且对任一周线，只要及其内部全含于内，就有；四是在区域内是的共轭调和函数；五是在内任一点的领域内可展成的幂级数，即泰勒级数[1-4]。其他各种形形色色的充分条件和必要条件这里就不一一列举了。解析函数的研究主要有两个方法：由魏尔斯特拉（Weierstrass）提出的幂级数方法和由柯西（Cauchy）提出的积分表示方法。一方面，对于圆盘这样的区域，关于收敛的幂级数与其上解析函数之间一一对应。解析函数的性质可通过幂级数的研究得到，同样幂级数的性质也可通过解析函数来反映。例如解析函数经＋，－，×，÷（分母不为零）和复合后仍是解析函数，因而同样的幂级数在相应收敛区域内也可作＋，－，×，÷（分母不为零）和复合的运算。另一方面，Cauchy公式是1825年左右Cauchy在研究流体力学时发现的。他将解析函数表示为沿边界的含参变量积分，为解析函数的研究提供了一个非常有用的工具。解析函数的许多最基本的性质可以通过Cauchy公式得到。这里把Cauchy公式完整叙述一遍：设是由有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域，在上连续，在内解析，则，。Cauchy公式表明解析函数由其在边界的函数值唯一确定，并可通过Cauchy核函数利用沿边界的积分得到[5-7]。而关于解析函数的应用，主要有以下三点：一、利用调和函数与解析函数的关系求调和函数的稳定点。若函数30 在区域内解析，则在区域内是的共轭调和函数。反之命题也成立。设是全平面上的调和函数，根据调和函数与解析函数的关系，我们可以用积分的方法求出其共轭调和函数，得到解析函数，且满足C.-R.条件：，。设是的稳定点，即满足，而。令，可见为的稳定点就等价于，于是，求调和函数的稳定点的问题就转化为求方程的根。二、解析函数的Pade有理化逼近。在建立解析函数的幂级数理论的过程中，可知函数在内处处可导，且有Taylor展开式。这一事实也可表述为，幂级数在内可写成一个有理函数。显然，在内收敛的幂级数并非一定可表示为一个有理函数。但可研究以下问题：设在解析，是否可通过其Taylor展开而局部有理化，即，若在内对给定的非负整数p，q,寻找一个有理函数满足，，，使得具有以为中心的Taylor展开式：（*）即与的Taylor级数的前p+q+1项完全一致。当然，（*）式的收敛半径可能小于R，这样的有理函数称为解析函数的一个Pade有理化逼近。30 三、平面静电场的复势的幂级数表示。设有一定义在单连域内的平面静电场E={P(x,y),Q(x,y)}，当场内没有带电物体，静电场既是无源场，又是无旋场。物理学关心求出静电场的力函数和势函数。以下说明，复变函数是一个解析函数，并可由平面静电场的表达式E={P(x,y),Q(x,y)}而求之。以下讨论由场E构造的方法。因为场E是无源场，所以在单连域D内，即在内。由关于第二类曲线积分的格林定理知，积分在内与路径无关，从而在内定义了一个函数，使得,从而，（1）。又因为场E是无旋场，所以在内,即在内。同理，由关于第二类曲线积分的格林定理知，积分在内与路径无关，从而在内定义了一个函数，使得,从而，（2）。由于，都在内可微，并有公式（1）和（2）得到，，所以复变函数在解析。由于等值线上各点处的斜率为,所以，在等值线上任一点处的静电场E向量{P(x,y),Q(x,y)}都与等值线相切，这就是说，等值线就是静电场E向量线，即场中的电力线。因此，称为场E的力函数。另一方面，由于grad={，}={-P,-Q}=-E,所以为静电场E的势函数，也称静电场的电位。等值线就称为等位线。也称解析函数为静电场的复势（或复电位）。有向量和复数表示的对应关系，即静电场可表示为可知，场E可以用复势表示为（#）。利用静电场的复势，可以研究场的等位线和电力线的分布情况，描绘出静电场的图像。而由（#）式也可直接由来求。由（#）式，有，所以在内解析。对，在处把展开成幂级数30 ，而后可得到的一个领域内的复势函数：。当给定取值后，由一种所谓解析开拓的方法，就可得到整个单连域内的一个复势函数[8-11]。在数学分析中，我们知道在一个区间内有导数的实变函数在这个区间内不一定有二阶导数。但在一个区域内的解析函数却在这个区域内有任意阶导数，这一性质是由柯西公式证明的，也称为解析函数的无穷可微性。复变函数在一定区域内有导数即解析是很强的条件，由它可逐步推出柯西-黎曼条件、柯西定理、柯西公式及解析函数有任意阶导数。另外，我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一解析函数在它的定义域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。这就是解析函数的唯一性，显示解析函数在局部与整体的密切联系，可叙述如下：如果及在区域内解析，设是内彼此不同的点（k=1,2,3,…）,并且点列{}在内有极限点，如果（k=1,2,3,…），那么在内，。从以上我们可以看出，虽然在形式上复变函数的导数及其运算法则与实变函数几乎没什么不同，但在实质上，实变函数可导与复变函数解析之间有很大差别。而解析函数的各方面研究对整个复变函数论都极其重要[12-15]。一、总结部分本文主要阐述了以下内容：（1）复变函数的历史背景及研究的重点和主要成果；（2）解析函数的发展，判定条件；（3）研究解析函数的方法；（4）解析函数的若干个相关应用。复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，它的理论基础是在19世纪奠定的，柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼是这一时期的三位代表人物。复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。30 解析函数论是复变函数论中最重要的分支之一，由于解析函数具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。事物总是向前发展的，随着人们更深入的研究，笔者相信复变函数解析的研究素材将更广，理论和方法将更趋完善。一、参考文献[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1996.[3]扈培础.复变函数教程[M].北京:科学出版社,2008.[4]严镇军.复变函数(第二版)[M].安徽:中国科学技术大学出版社,2010.[5]谭小江,伍胜键.复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版社,2006.[6]郑建华.复变函数[M].北京:清华大学出版社,2005.[7]崔书英.解析函数零点的分布问题[J].山东教育学院学报,2005,1:96-98.[8]朱经浩.复变函数教程[M].上海:同济大学出版社,2005.[9]何彩香,张晓玲.复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质[J].大理学院学报,2010,9(4):17-19.[10]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996.[11]杜迎雪,许小艳.复变函数的可导性与解析性[J].中国科技信息,2006,13:272-287.[12]余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2000.[13]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2007.[14]JamesPierpont.FunctionsofaComplexVariable[M]:DoverPublications,2005.[15]JamesWardBrown,RuelV.Churchill.ComplexVariablesandApplications(SeventhEdition)[M]:ChinaMachinePress,2004.开题报告复变函数解析的判定及其应用　一、选题的背景、意义30 复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。而复变函论研究的中心对象就是解析函数。在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数与流函数有连续的偏导数，且满足偏微分方程组，，并指出是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。如果设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则。这就是著名的柯西积分定理。这个定理告诉我们，解析函数在单连通区域内的积分与路径无关。解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值。有如下定理：设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则和在内恒等。[1]这个定理有两个推论，一是设在区域内解析的函数和在内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域内恒等；另一个是一切在实轴上成立的恒等式在平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在在平面上都是解析的。[1]它们统称为解析函数的惟一性定理，揭示了函数在区域30 内的局部值确定了函数在区域内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。另一方面，由柯西积分公式，我们还知道，从解析函数在边界上的值可以推得它在的内部的一切值。此外，解析函数的无穷可微性是指一个区域内的解析函数在这个区域内有任意阶导数。这个性质是由柯西积分公式证明的。这样如果我们知道函数在某个区域内解析，就可以求出其在该区域的任一阶导数，而数学分析中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了。由于解析函数有着如上种种重要性质，解析函数的研究成为复变函数论发展的一个主要动力。随着人们更深入的研究，复变函数解析的理论将更趋完善，应用也将更加广阔。本课题的研究，笔者希望在前人的研究基础上，对解析函数的知识做一个系统的整理。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文研究的基本内容为：一、引言，主要包括课题研究的背景、研究意义等；二、归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条件、必要条件和充要条件；三、研究解析函数具备的性质，辨析解析函数与可导函数的区别和联系；四、解析函数在积分，微分，幂级数展开以及留数计算等方面的应用；五、通过几个实例讲解复变函数解析的应用。在收集资料，阅读相关文献之后，要解决的主要问题是形成系统材料。本课题的研究主要是回顾复变函数解析的知识，对其的判定条件、性质及应用做一个整体的归纳总结。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标一、先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。总结前人对复变函数解析的研究成果之后，再通过实例分析，了解解析函数的相关应用。二、研究的主要难点：给定一个复变函数，如何判断其在某个区域内是否解析。三、预期达到的目标：通过本课题的研究，全面总结复变函数解析的判定条件，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用，并且结合具体例题，给出解析函数的各种应用，尤其是应用函数解析的性质解决一些实际问题。四、论文详细工作进度和安排第七学期第10周至第11周：收集资料，阅读相关文献，形成系统材料，完成文献综述；翻译相关问题的外文文献。30 第七学期第12周至第14周：深入分析问题，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告，修改定稿，签署意见；上交文献综述、开题报告，外文翻译。第七学期第15周至第16周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线指导学生撰写论文，完成论文初稿。第八学期第1周至第8周：在导师的指导下，对论文进行第一次修改。第八学期第9周至第12周：对论文进行第二次修改，并完善定稿。第八学期第13周至第15周：做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。五、主要参考文献[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1996.[3]扈培础.复变函数教程[M].北京:科学出版社,2008.[4]严镇军.复变函数(第二版)[M].安徽:中国科学技术大学出版社,2010.[5]谭小江,伍胜键.复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版社,2006.[6]郑建华.复变函数[M].北京:清华大学出版社,2005.[7]崔书英.解析函数零点的分布问题[J].山东教育学院学报,2005,1:96-98.[8]朱经浩.复变函数教程[M].上海:同济大学出版社,2005.[9]何彩香,张晓玲.复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质[J].大理学院学报,2010,9(4):17-19.[10]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996.[11]杜迎雪,许小艳.复变函数的可导性与解析性[J].中国科技信息,2006,13:272-287.[12]余家荣.复变函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2000.[13]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2007.[14]JamesPierpont.FunctionsofaComplexVariable[M]:DoverPublications,2005.[15]JamesWardBrown,RuelV.Churchill.ComplexVariablesandApplications(SeventhEdition)[M]:ChinaMachinePress,2004.30