曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用文献综述

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1、文献综述曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用　　　　　　一、前言部分极限和微积分的概念可以追溯到古代.到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的准备工作,分别独立地建立了微积分学.他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的.直到十九世纪,柯西和维斯特拉斯建立了极限理论,康尔托等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化,微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各分支中,有越来越广泛的应用.特别是计算机

2、的发明更有助于这些应用的不断发展.客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着.因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了.由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学.微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧式几何后,全部数学中的最大的一个创造.而曲线积分和曲面积分一直是微积分中的一个难题,是微积分中最难掌握的内容之一,在解决此类应用问题时,难以将其转化为标准的曲线积分或曲面

3、积分算式,这种情况的根本原因是对曲线、曲面积分的物理模型含糊,概念不清.其实,任何一门知识,只有在对它的本质有了透彻的理解,实践中才能运用自如.二、主题部分在文献[1]中,引出了两类曲线积分和两类曲面积分的概念.第一类曲面积分引例:设一曲面物质分布密度为,计算物质总质量.把分成个小块,的质量近似为.第二类曲面积分引例:考虑流体流速为F穿过空间中曲面S的流量,即单位时间穿过曲面的质量.为简单起见,设流体密度为单位1,只需计算单位时间内穿过曲面S的体积.把S分成个小块,穿过的体积为,当小块面积最大趋于零时,总流

4、量为.(考虑流体流出曲面的流量时,的法向量起作用,切分量对流量没有贡献.第一类曲线积分引例:设曲线形铁丝C的线密度数量函数,求其质量.把曲线C分成段,第段的质量近似为,当所有小段的最大长度趋向于零时,总质量为.由引例给出第一类曲线积分的定义,并把条件补充完整,强调第一类曲线积分是特殊的和式极限.第二类曲线积分引例:设一单位质点在力场F中沿曲线C运动,计算F对质点做的功.用把曲线C分成段,F在第段即从到上所作的功近似为,为的向量,当划分越来越细,小段的最大长度趋向于零时,总功为.文献[2]中给出了曲线积分和曲

5、面积分的一些性质,了解这些对于熟练掌握曲线积分和曲面积分的计算是有裨益的.1、第一型曲线积分的基本性质（1）若存在,为常数,则也存在,且=.（2）若曲线段L由曲线段首尾相接而成,且都存在,则也存在,且=.（3）若与都存在,且在L上,则.（4）若存在,则也存在,且.（5）若存在,L的弧长为,则存在常数,使得.这里.特别地,如果L是光滑曲线,在L上连续,则存在点,使得积分.1、第二型曲线积分的基本性质:（1）若存在,则.（2）若,为常数,则也存在,且=.（3）若有向线段L是由有向线段首尾相接而成,,且存在,则也

6、存在,且=.在理解了两类曲线积分和两类曲面积分的概念和性质后,接着将介绍两类曲线积分和两类曲面积分各种不同的计算方法.文献[3]中介绍了第一类曲线积分的各种不同的计算方法,对于第一类曲线积分,可以采用基于极坐标系或者球坐标系下的参数方程,对于其中一些特殊的空间曲线积分,还可以利用斯托克思公式、格林公式使得计算更为简便.文献[4]中介绍了第二类曲线积分的各种不同的计算方法.第二类曲线积分表示的是变力沿有向曲线移动所作的功.由于力是变的,曲线是有向的,所以其计算较为复杂.该文献归纳了第二类曲线积分的解题思路与技

7、巧.第二类曲线积分的计算一般可分为直接计算和间接计算.其中间接计算涉及两个重要的定理——与路径无关定理和格林定理.文献[5]中提供了一种第一类曲面积分的计算方法,这种方法就是把第一类曲面积分转化为第一类曲线积分来计算,并且该文献还讨论了第一类曲线积分和定积分的换序情形.在通常情况下,第一类曲面积分的计算是化为二重积分进行的.由于空间曲面和空间曲线有着密切的关系,因此该文献讨论如何利用第一类曲线积分来计算第一类曲面积分的方法.文献[6]中介绍了第一类曲面积分的简单计算与推广.第一类曲面积分的积分表达式具有如下

8、特点:(1)积分曲面是可求曲面面积的曲面；(2)被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数,利用积分元素法,能将其直接化为定积分来计算.第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点,在面对这一问题时,常会令人感到束手无策、无从下手.这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性,它既要考虑到曲面的形状及其投影区域,又要注意到曲面的侧；文献[7]总结了有关第二型曲面积分的常规的三种计算方法,并对每种计算方法均配以典型例题