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《专题4.4热点题型三函数的极值与最值-2017年高考数学（文）热点+题型全突破》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、热点题型三函数的极值与最值■^知识杭理一、函数极值1、函数极值的概念：（1）极大值：—•般地，设函数/（对在点X。及其附近有定义，如來对兀0附近的所有的点都有/（兀）＜/（观），就说/"（兀。）是函数/（x）的一个极大值，记作y极大值=/（%（）），其中兀是极大值点（2）极小值：一-般地，设函数/（兀）在点勺及其附近有定义，如果对兀。附近的所有的点都有/（对＞/（耳），就说/（兀。）是函数/（x）的一个极小值，记作y极小值=/（兀（）），其中兀是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是白变最的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（1）
2、极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最人或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最人或最小（2）函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个・.（3）极人值与极小值ZI'可无确定的大小关系•即一个函数的极人值未必人于极小值3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、求极值点的步骤：（1）筛选：令/（%）=0求出/（X）的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过f（Q的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）
3、定性：通过函数单调性判断出是极人值点还是极小值点：先增后减一极人值点，先减后增一极小值八、、5、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言Z,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。6、对于在定义域中处处町导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。7、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若/（X）为奇函数，则当x=x0是/（兀）的极大（极小）值点时，x=-x0为/（x）的极
4、小（极大）值点（2）若/（兀）为偶函数,则当x=xQ是/（兀）的极.大（极小）值点时,x=-x0为/（兀）的极大（极小）值点二、函数最值1、函数的最大值与敲小值：（1）设函数/（无）的定义域为D,若3x0gD,使得对VxeD,均满足f（x）＜f（x0）,那么称兀为函数/（Q的一个最人值点，/（无）称为函数/（兀）的最•大值（2）设函数/（兀）的定义域为D,若3x0gD,使得対D,均满足/（x）＞/（x0）,那么称x=x0为函数/（X）的一•个最小值点，/（勺）称为函数/（兀）的最小值（3）最人值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某
5、个自变量的函数值。例如：/（x）=lnx,xw[l,4）,山单调性可得/（兀）冇最小值/（1）=0,但由于x取不到4,所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到。/•⑴没有最人值。（5）—个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如/（%）=sinx,其最人值点为x=—--2k7U（keZ）,有无穷多个。2.“最值”与“极值”的区别和联系上图为一个定义在闭区间［a,b］上的函数/(兀)的图象.图中/(召)与/(禺)是极小值，/(兀2)是极人值.函数/(兀)在［a,h］±的最大值是/(b),最小值是/(兀3)(1)“最值”是整体概念
6、，是比较整个定义域内的函数值得出的，具冇绝对性；而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；(3)函数.在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值町能不止一个，也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.3、结论:一般地，在闭区间［a,b］上函数y=/(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y=/(x)在［a.b］上必有最大值与最小值.4、最值点只可能
7、在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区•间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也冇比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤：—•般地，求函数/(兀)在［。,引上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求/(x)在(d,b)内的极值；(2)将/(力的各极值与端点处的函数值/(d)、/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数/⑴在［。,引上的最值.6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也对简化步骤：(1)利用函数
