知识讲解_对数函数及其性质_基础

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1、对数函数及其性质编稿：丁会墩审稿：王静伟【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，拿握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3.了解反函数的概念，知道指数函数y=与对数函数y=log,x11为反函数(。〉0卫工1).【要点梳理】要点一、对数函数的概念1.函数y=logax(a>0,a7^1)叫做对数函数.其中X是口变量，函数的定义域是(0,+co),值域为/?.2.判断一个函数是对数函数是形如y=log“x(a>h1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为

2、大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量兀・要点诠释：(1)只有形如y二log“x(a>0,aH1)的函数才叫做对数函数，像y=log,x+l),y=21og“x,y=log(/x+3等函数，它们是rh对数函数变化得到的，都不是对数函数。(2)求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求人于零，底数人于零H不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象与性质a>00

3、上是减函数当00,当x21时，yWO要点诠释：关于对数式的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.卜-而介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log“N>0；当a,N异侧时，log“N〈0.要点三、底数对对数函数图象的影响1.底数制约着图象的升降.如图yy1a>O0xOJ'0

4、耍忽略.1.底数变化与图象变化的规律在同一处标系内，当a>l时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当O〈a〈l时，对数函数的图彖随a的增人而远离x轴.(见下图)片卩=1。阴x图1要点四、反函数1.反函数的定义设分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)所解得的x=(p(y)也是一个函数(即对任意的一个ywB,都有唯一的xeA与之对应),那么就称函数x=(p(y)是函数y=/(x)的反函数,记作x=,在x=中，y是自变量，兀是y的函数，习惯上改写成y=/_1(x)(xgB,yeA)的形式.函数x=.f"(y)(yeB,xeA)与函y

5、=/_1(x)(xeB.yeA)为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B,对应法则都为广.由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A止好是它的反函数y=f~]M的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f~x)的定义域.要点诠释:并不是每个函数都有反函数，有些隊I数没有反函数，如y=—般说来，单调函数有反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(2)若函数y=/(X)图彖上有一点(Q,b),贝i」(b,Q)必在其反函数图彖上，反Z,若(b,d)在反函数图象上，贝ij(o,b)必在原函数图象上.【典型例

6、题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？(1)y=log“依(°>0,a工1)；(2)y=log2x+2;(1)y=81og2(x+l)；⑷)，=log6(x>0,xHl)；(5)y=log6x.【答案】(5)【解析】(1)中真数不是口变量x,不是对数函数.(2)中对数式后加2,所以不是对数函数.(3)中真数为x+1,不是兀，系数不为1,故不是对数函数.(4)中底数是自变量X,二非常数，所以不是对数函数.(5)中底数是6,真数为X,符合对数函数的定义，故是对数函数.【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答木题需根据对数函数的

7、定义寻找满足的条件.类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题屮的垂要作川.例2.求下列函数的定义域：(1)y=log0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域.⑴因为%2>0,即xh(),所以函数y=log“x2的定义域为{兀

8、兀工0}；(2)因为4一兀>0,即x<4,所以函数)，=log“

9、(4・x)的定义域为{xlx<4}.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，