高中数学 对数函数及其性质基础知识讲解 新人教a版必修1

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1、对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它

2、们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象与性质a＞00＜a＜1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log

3、aN>0；当a，N异侧时，logaN<0.要点三、底数对对数函数图象的影响1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0

4、的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）；（2）（3）；（4）；（5）．【答案】（5）【解析】（1）中真数不是自

5、变量，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2.求下列函数的定义域：(1)；(2).【答案】（1）；（2）．【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等

6、式就可求出定义域.(1)因为，即，所以函数；(2)因为，即，所以函数.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1)(2).【答案】（1）(1，)(，2)；（2）．【解析】(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).（2）由得故所求定义域为．类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；

7、⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3.比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4)与．(5)（）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】(1)<；(2)<；(3)>；(4)>；(5)略．【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；解法