数形结合论文素材

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1、一、绪论恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数学屮的两人研究对彖“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素.数形结合是贯穿丁•数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远.一方血，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方而，将图形问题转化为代数问题,可以获得准确的结论.“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法

2、，更是一种重要的数学思想•高中数学学习中，数形结合的思想更是贯穿始终.二、研究的目的和意义数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事非数形结合就是充分运用数的严谨和形的育•观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形彖思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起來，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题儿何化，儿何问题代数化.数形结合思

3、想方法是屮学数学基础知识的粘箭之一，是把许多知识转化为能力的“桥”.在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学牛进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学牛就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学牛学习数学的信心.尤其是对丁较难问题，学牛若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性.同吋，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解.三、数形结合在提高学主解题能力中的作用作为一种数学思想方法，

4、数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数Z间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.其小数形结合的重点是研究“以形助数”.根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决.（一）“以形助数”例1点是椭圆—+話=1上一点，它到其中一个焦点耳的距离为

5、2,"为加巧的中点，0表示原点，则

6、0纲二・亠分析：（数形结合法）设椭圆另一焦点为耳，^\MF^MF2=2a,卩而^=5,

7、^

8、=2:.MF2=8^又注意到M0各为胚许、巩耳的中点心:.ON是型码玛的中位线心''：.ON=f

9、吗=1x8=42227^11r（代数法）若联想到第二定义有

10、M屑

11、=。-&心，可以确定点M的坐标，进而求加耳中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出

12、0N

13、,但这样就增加了计算量，方法显得比较复杂.点评:运川数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而H能避免复杂的计算与推理，人大简化了解题过程•

14、在解选择题、填空题中更显H优越，要注意培养这种思想意识，以开拓自己的思维视野.例2若关于x的方程，+2抵+3尤=0朗两根都在-环口3之间，求疋的取值范围.分析：(数形结合法)令/(x)=/+2心+3上，q函数/(X)的图象与x轴交点•的横坐标就是方程《/(x)=0的解，由y=f(x)的图象可知，要使二根都在-1,3之间，a/(-I)>0心)<0只需满定/⑶>0可解得—1代数法)由一元二次方程的根的判别式和求根公式，根据题意d2可得-2^4-VA<3>-1解得一1

15、(-1,0)Q点评:数形结合的思想可以使某些抽彖的数学问题直观化、牛动化，能够变抽象思维为形彖思维，有助于把握数学问题的本质，简化计算.例3求函数y=竺土的值域.計cosx-2分析：(数形结合法)y=竺斗的形式联想到斜率公式尹二准二21,“COS兀一吃x2一X]八曲+2表示过两点好(2,―刁，p(c°sx,smx)的直线的斜率.cosx-2由于点尸在单位圆X2+y=1上所以%直

16、^得尹cosx-2y=smx+2,ag-2"sinx-ycosx=-2y-2^ly2+1sin(x+饲=-2y-2aw-2y-2—:.sm(x+Q)=・二=，而

17、sin(x+朝

18、兰1心解不等式得字点评:许多函数的最值问题，存在着儿何背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种垂要方法，通过图形给问题以儿