数形结合注重综合论文

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1、数形结合注重综合在近几年的中考试题中，函数问题的题目常常作为压轴题，这让考生们感到难以应付，他们找不到切入点，不容易得高分。初中阶段的函数只有三种：一次函数、二次函数和反比例函数。初屮数学中考试题的命题目的是为了考查学生对初中数学基础知识的掌握情况。所谓的难题，只是笼上了几层面纱，使我们不容易看到它的真面目。我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面冃。大数学家华罗庚曾说过：“数缺形少直观，形少数时难以入微”。数形结合，就是把代数、几何知识相互转化、互相利用的一种解题思想，也是i种重要的数学思想。把儿何图形置于平面直角坐

2、标系中，与函数图象综合的函数型综合题仍然是近几年中考的热点问题。如何活用函数的性质注重数形结合来解决这一类问题，下面举例说明。一、函数与圆例1、（2010泉州）如图所示，已知抛物线的图象与轴相交于点，点在该抛物线图象上，且以be为直径的Om恰好经过顶点&（1）求的值；（2）求点c的坐标；（3）若点的纵坐标为，且点在该抛物线的对称轴上运动，试探索：①当时，求的取值范围（其中：为△pab的面积，为△oab的面积，为四边形oacb的面积）；②当取何值时，点P在Om±.（写出的值即可）点评：这类题冃是函数与圆的综合问题,主要考查三角形的相似、函数与方程、垂径

3、定理、圆周角定理等知识的综合运用，同时还考查了运用代数方法解决几何问题、运用几何方法求点的坐标，涉及到转化的思想、分类讨论思想及函数与方程思想，是一道不错的代数与几何综合题。二、函数与实际应用问题例2：某养殖专业户计划利用房屋的一面墙修造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗.他已准备可以修高为3、长30的水池墙的材料，图中ef与房屋的墙壁互相垂直，设ad的长为•（不考虑水池墙的厚度）（1）请直接写出的长（用含有的代数式表示）；（2）试求水池的总容积与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）如果房屋的墙壁可利用的长度为10.5，请利用函数图象与性质求

4、的最大值.解：（略）点评：此题很好地考查二次函数的图像和性质：如通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义；能用数形结合和归纳等数学思想，根据二次函数的表达式（图像）确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标画草图；待楚系数法求函数解析式；从函数反应的函数性质，求解析式中字母的取值范围。解决此问题关键是能根据实际情况确定自变量的取值范围，画出符合题意的草图，进而探求符合条件的区间内的极值。三、函数与动点问题在解决函数问题时，关键是能否求出的点的坐标。其中点包括定点和动点，求点的坐标有一种重要方法为：先设点，再代点，最后求得点。求动

5、点时耍设法画出点，确定点的位置。根据题目中的相等关系列岀方程，从而求得点的坐标。例3：(2006海南)如图，已知二次函数的解析式为,直线的解析式为•(1)为线段上的一个动点(点与，不重合)，过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)d为直线ab与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ab上是否存在一点P，使得四边形deep是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：对于第(1)小题，可引导学生用上述的方法求得点。过程为：先设P、e两点的坐标分别为，

6、然后再代点。应提醒学生注意点P应代入直线屮，而点e应代入抛物线中，最后通过计算分别求出p、c两点坐标为,p、c两点的求出为求与Z间的函数关系式打下良好的基础。对于第(2)小题，可引导学生在图中画出口deep,知道点p的位置，用求点的方法求得d的坐标，确定cd的长，利用题中等量关系cd二ep、cd的长为及第(1)小题中的结论pe二-x2+3x,得到方程-x2+3x=2,通过求解方程得到点p的坐标。四、函数与多边形问题例4、已知：在矩形aobc中，ob二4,oa=3.分别以ob、oa所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角处标系.f是边be上的一个动点(

7、不与b、c重合)，过f点的反比例函数(>0)的图象与ac边交于点e.(1)求Abof的面积(用含的代数式表示)；(2)记，求当为何值时，有最人值，最人值为多少？(3)是否存在这样的点f,使得将Acef沿ef对折后，c点恰好落在ob±?若存在，求出点f的坐标；若不存在，请说明理由.解:(略)点评：这个题目综合了反比例函数的图象与性质，把面积与三角形的折叠相似、勾股定理有机地结合在一起。要解决此类函数问题的关键：首先要建立儿何模型接着建立代数式模型最后建立函数模世，并能添加适当的辅助线。从上面的分析过程中可知只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能分

8、析初中数学屮的函数综合问题，而合理选择和应用知识、思想、方法是函数问题得以解决充分保证。在函数问题教学过程中