高中数学解题策略之函数与方程

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1、高中数学解题策略之函数与方程作者：龙和桂（湖南省长沙市第七中学，邮编410003）【摘要】函数思想，是指用函数的概念和性质玄•分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合纽），然后通过解方程（组）或不等式（组）來使问题获解。函数思想的几种常见题型是：遇到变暈，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最人值Z类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题小，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质

2、或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。【关键字】函数思想方程思想分离参数法三角换元法等价转化思想数形结合法构造法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合纟R）,然示通过解方程（纟R）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题一数学问题一代数问题一方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道

3、，哪里冇等式，哪里就冇方程；哪里冇公式，哪里就冇方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么木质的区别，如函数y=f（x）,就可以看作关于x、y的二元方程f（x）-y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需耍重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利川函数的性质解题，经常利用的性质是：f（x）、f"（x）的单调性、奇偶

4、性、周期性、最人值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、対数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应川函数思想的儿种常见题型是:遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等

5、式、方程、最小值和最人值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其屮的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也町以用函数方法解决。例题解读与思维策略：例1.设a>0,aHl,试求方程logtf(x—ak)=log^2(x2—a2)有实数解的k的范围。(89年全国高考)【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式了特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。I[

6、x-ak>0【解】将原方程化为：log“(X—ak)=loga丁兀？,等价于｛r-r-[x-ak=-a(a>0,a^l)XX9.X•:k=—、（_y_i（丨一丨>1）,aaa设一=csc0、aji,0）U（0,—）,贝llk=f（9）=csc0—

7、ctg9

8、兀当()G(-—0）时,0f（（））=csc（）+ctg（）=ctg—<—L故k<—1；当ee（0,ji〒）时,0f（0）=csc0—ctg0=tg一e（o,1）,故o

9、函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变屋的范围。一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。另一种解题思路是采取“数形结合法”：将原方程化为：log“（x—ak）=log“』x?-ci?,等价于X—ak=Vx2-a2(x—ak>0),设曲线C】:y=x—ak,曲线C2：y=ylx2-a2(y>0),如图所示。由图可知，当一ak>a或一a<-ak<0时曲线C^C2有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是:k<—l或0