函数与方程思想在高中数学解题中的应用

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1、蛰麓鞠ITeachIngandReseafchForum函数与方程思想在高中数学解题中的应用【贵州省遵义市正安县第一中学，贵州遵义563400】．⋯⋯．耄姜．篓套分析，霆数襄．毒篙转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范寺I口J咫；刀任僻竹咫州。姒、察，如图，以(0，一1)为圆心，0

2、思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时我们换一个思路：由方程①变形为要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看。+2y+10·r=一成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，把2：一÷+2y+10看作y的函数，由椭圆那么这个两数有什么性质，如果一个问题从表面上看c可知，一2≤y≤2，因此，求使圆c与椭圆c有公不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，共点的r的集合，等价于在定义域为y【一2，2】的是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根(例如根的虚实，正情况下，求

3、函数F2=l厂(y)=一÷十2y+lO值域．负，范隔等)有什么要求?一把字母看作变量或把代数式看作函数、由l，一2)：12)：9,441=，可得l厂(y)的【例1】已知两条曲线：椭网C·：1和值域是r2【l，詈】，即r【l，√】，它的补集就是圆C：2+(v+1)：r(r>0)，若两条曲线没有公共圆C与椭圆C没有公共点的r的集合，因此，两条点，求r的取值范闱曲线没有公共点的r的取值范围是0，／54／一一～～＼、5一，e＼【例21(I)若关于x的不等式l+1I+l一1}>m对所有R都成立，求m的取值范围．-，(II)若关于x的不等式l+1l+I一1I

4、1．根，即判别式小于零，即(1)若关于x的不等式1+11+一1m对所有ER都成立，则。()>m，又()：2，则m△=4—4(一÷)(10一<0，解得r>√或r<2．(Ⅱ)若关于x的不等式l+1l+I—llo'r<一舍去)．解，则Ym

5、()2．这就是说，若两条曲线没有公共点，r的取值范嗣【例31已知数列{a}各项都是正数，且满足n。：1，：÷。(4一rz)，∈N．证明口<1<2，n．这个结果是否正确呢?我们可以l一个图来观∈N：·5O·／嗍合力．数学，-___-___-_⋯【分析及解】这是一个以递推公式为背景的数贝4F()=g()一2[g(—a+x)]=lnx一1n列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。把。=÷o(4一n)，nN．看作一个函数，当00时，F()>0，因此F(

6、)在(0，+。。)上为增函数．由此启发得n=÷(4一o)=÷[4一(吼一从而，当=。时，F()有极小值F(。)．因为F2)]=一÷(o一2)+2<2．(。)=0，b>o，所以F(b)>0，．I即00，所以r上^+l>，由以_J二有0<贝0G()=lnx—In—一ln2=lnx—In(0+)．。+l<2，n∈N；当>0时，G()<0．因此G()在(0，+)上为减第二：用函数和方程的性质解题．函数．因为G(n)=0，b>0，所

7、以G(b)<0，r(3a一1)+4a，<1BⅡg(0)g(b)一2g(}旦)<(6一n)ln2．【侈lJ4】已知){l0g≥1是厶规律技巧提炼：(一，+*)上的减函数，那么。的取值范围是1．函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法()．处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种(A)(o，1)(B)(0，÷)(c)[了1，÷)(D)[，1】思维方式，是很重要的数学思想．(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约【分析及解】本题从表面上看并不困难，的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相若_厂()=(3a一1)+4o为减函数，则3a一1<0互制约关系

8、，最后解决问题，这就是雨数思想．应用函