2020版高中数学 第一章 解三角形章末复习学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第一章解三角形章末复习学习目标　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解组合.3.能解决三角形与三角变换、平面向量的综合问题．1．正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)＝＝＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.2．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB

2、，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝；cosB＝；cosC＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3、，即sinA＝，又△ABC为锐角三角形，所以A＝60°，cosA＝，所以BC＝＝7.(2)已知△ABC中，若cosB＝，C＝，BC＝2，则△ABC的面积为．答案　反思感悟　利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题．跟踪训练1　(1)在△ABC中，∠A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)A.B.C.D．2答案　B(2)已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)A．75°B．60°C．45°D．30°答案　D解析　S＝BC·AC·si

4、nC＝×4×3×sinC＝3，∴sinC＝，∵三角形为锐角三角形．∴C＝30°.题型二　几何计算例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED＝.答案　解析　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.反思感悟　正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只

5、需通过解三角形，一般问题便能很快解决．跟踪训练2　在△ABC中，∠B＝120°，AB＝，∠A的平分线AD＝，则AC等于(　　)A．1B．2C.D．2答案　C解析　如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.题型三　实际应用例3　如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，且AM＝100m，BN＝200m

6、，一测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100m，所以PM＝100m，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100m，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100m.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200m.在Rt△BNQ中，因为tanθ＝2，BN＝20

7、0m，所以BQ＝100m，cosθ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ，所以BA＝100m.故两发射塔顶A，B之间的距离是100m.反思感悟　实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60°”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素．跟踪训练3　如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD

8、．30(＋1)m答案　C解析　如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．故选C.题型四　三角形中的综合问题例4　a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C的对边，向量p＝(2－2sinA，cosA＋