2020版高中数学 第二章 数列章末复习学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第二章数列章末复习学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．1．等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公

2、比通常用字母q表示(q≠0)递推公式an＋1－an＝d＝q中项由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n项和公式Sn＝＝na1＋d当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1性质am，an的关系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asat{kn{}

3、是等差数列{}是等比数列性质}是等差数列，且kn∈N＋n＝2k－1，k∈N＋S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝a判断方法利用定义an＋1－an是同一常数是同一常数利用中项an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝a利用通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n项和公式Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了

4、叠加法和叠乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．题型一　方程思想求解数列问题例1　等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式．解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正

5、整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有由q(6＋d)＝64知q为正有理数，又由q＝知d为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8，故an＝2n＋1，bn＝8n－1.反思感悟　在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1　记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a

6、1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.解　设数列{an}的公差为d，依题设有即解得或因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.题型二　转化与化归思想求解数列问题例2　在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．(1)证明　∵Sn＋1＝4an＋2，①∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一　对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得＝

7、2－，即＋＝2，即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列．由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1.∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差

8、数列．(2)解　由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)＝n－，∴an＝(3n－1)·2n－2.∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2)．当n＝1时，S1＝1＝a1，符合．∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋)．反思感悟　由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过