高中数学 第一章 解三角形章末回顾学案 新人教b版必修5

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1、第一章解三角形本章回顾1．三角形中的边角关系设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin，tan＝cot.(3)三角形中的边角关系a＝b⇔A＝B；a>b⇔A>B；a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)三角形中几个常用结论①在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB(其余两个略)；②在△ABC中，sinA>sinB⇔

2、A>B；③在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.2．正弦定理(1)正弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，则＝＝＝2R.其中R是△ABC外接圆半径．(2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用．①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；④＝，＝，＝.3．余弦定理(1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他

3、两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)余弦定理的推论cosA＝；cosB＝；cosC＝.4．三角形的面积三角形面积公式S△＝aha＝bhb＝chc；S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA；S△＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆半径)；S△＝(R为△ABC外接圆半径)；S△＝.5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该

4、三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C

5、＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解.6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC中，以已知a，b，A为例判断方法如下表：A为锐角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤ba>ba≤b解个数一解无解一解无解一、构建方程(组)解三角问题例1　如图所示，设P是正方形ABCD内部的一点，P到顶点A、B、C的距离分别是1,2,3，求正方形的边长．解　设边长为x，x>0，在△ABP中

6、，cos∠ABP＝＝，在△CBP中，cos∠CBP＝＝，又cos2∠ABP＋cos2∠CBP＝1，∴2＋2＝1.∴x2＝5＋2或x2＝5－2所以，x＝，即正方形的边长为.例2　如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.分析　设AB＝h，则MB，NB，PB都可用h来表示，在底面△BMP中，MN＝PN＝500m，借助△MNB与△MPB，利用公共角∠PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解

7、　设AB＝h，∵AB⊥MB，AB⊥NB，AB⊥PB，又∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，∴MB＝h，NB＝h，PB＝h.在△MPB中，cos∠PMB＝＝.在△MNB中，cos∠NMB＝＝.∴＝.整理，得h＝250.∴塔高AB为250m.二、构建目标函数解三角问题例3　如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ

8、的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．分析　四边形OPDC可以分成△OPC与△PCD.S△OPC可用OP·OC·sinθ表示；而求△PCD的面积关键在于求出边长PC，在△POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解　(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋×(5－4cosθ)＝2sin＋.(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax