2、x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分abf(x)dx表示由直线x= ,x= ,y= 和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即abkf(x)dx= (k为常数). 性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即ab[f(x)±g(x)]dx= . 性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则abf(x)dx= . 4.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则abf(x)dx= . 常
3、用结论如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则-aaf(x)dx=20af(x)dx;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函数,则-aaf(x)dx=0.题组一 常识题1.[教材改编]12ex-2xdx= . 2.[教材改编]03πsinxdx= . 3.[教材改编]已知14f(x)dx=8,则12f(x)dx+24f(x)dx= . 4.[教材改编]直线y=x-4、曲线y=2x及x轴所围成的封闭图形的面积是 . 题组二 常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)
4、的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分-12(t2+1)dx= . 6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为 . 7.计算-2-11xdx= . 8.直线x=0,x=π2与曲线y=sinx,y=cosx所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是 . 探究点一 定积分的计算例1(1)已知函数f(x)=sinx,x∈[-π,0],1-x2,x∈(0,1],则-π1f(x)dx=( ) A.2+πB.π2C.-2+π2D.π4-2(2)[2018·湖北咸宁重点高
5、中联考]若01(ex-2ax)dx=e,则a= . [总结反思](1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题(1)[2018·曲靖一中月考]已知0π2sin(x-φ)dx=74,则sin2φ=( )A.34B.916C.-34D.-34(2)[2018·莱芜模拟]122x+1xdx的值为 . 探究点二 利用定积分求曲边梯形的面积例2(1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=Asinωx-π6(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面
6、积为( )图2-16-1A.12B.14C.2-34D.2-32(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=x,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S= . [总结反思](1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题(1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为( )图2-16-2A.42B.22C.2D.22(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为(
7、 )A.13B.113C.323D.283探究点三 定积分在物理中的应用例3两点之间相距112m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10s所走的路程;(2)计算该质点在第5s到第10s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度. [总结反思](1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函
