广西2020版高考数学一轮复习考点规范练33基本不等式及其应用文

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1、考点规范练33　基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.lgx2+14>lgx(x>0)B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2

2、x

3、(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)答案C解析因为x>0,所以x2+14≥2·x·12=x,所以lgx2+14≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是

4、1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是(　　)A.3B.4C.5D.6答案B解析由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a2ab2b=a,∴2a

5、+b<1ab,即2aba+b0,b>0)对称,则1a+4b的最小值为(　　)A.8B.9C.16D.18答案B解析由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(　　)A.43B.53C.2D.54答案C解析由

6、x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)答案D解析因为x>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,

7、可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为(　　)A.2B.32C.1D.12答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤a+b22=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. 答案263解析∵x>1,∴logx9+log27x

8、=2lg3lgx+lgx3lg3≥223=263,当且仅当x=36时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为263.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转　　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　　万元. 答案5　8解析每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-225=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.(2018天津,文1

9、3)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为　　　　　　. 答案14解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>0.∴2a+18b≥22a-3b=22-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　. 答案乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q

10、%)<(1+p%)+(1+q%)22=1+p+q2%2,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥22.证明因为a,b均为正实数,所以1a2+1b2≥21a2