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《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程学案（含解析）新人教B版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．1.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离
4、F1F2
5、叫做椭圆的焦距．知识点二 椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F
6、2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )2．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值．( √ )3．已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同．( √ )题型一 椭圆定义的应用例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3
7、,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以
8、MC
9、＋
10、MP
11、＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝
12、CP
13、，所以动点M的轨迹是椭圆．反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足
14、
15、PF1
16、＋
17、PF2
18、＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足
19、PF1
20、＋
21、PF2
22、＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．答案 ②解析 ①<2，故点P的轨迹不存在；②因为
23、PF1
24、＋
25、PF2
26、＝
27、F1F2
28、＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．题型二 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，
29、且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q.考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程
30、为＋＝1.(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系
31、数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上
32、一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解 (1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，则解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．则解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.题型三 椭圆
