2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 微专题突破二 离心率的求法学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、专题突破二　离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1　已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．思维切入　双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．考点　题点　答案　2或解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．　　所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，即＝或.又b2＝c2－a2，所以＝3或，所以e2＝4或，所以e＝2或.同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有

2、＝或，所以＝或，亦可得到e＝或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.点评　双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．跟踪训练1　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　D解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a

3、＝2b.方法一　设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.二、以焦点三角形为指向求离心率例2　如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，

4、OF1

5、为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入　连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　＋1解析　方法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.

6、易知△AF1F2为直角三角形，则

7、AF1

8、＝

9、F1F2

10、＝c，

11、AF2

12、＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.方法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.点评　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．跟踪训练2　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　方法一　如图，在Rt△PF2F1中，

13、∠PF1F2＝30°，

14、F1F2

15、＝2c，∴

16、PF1

17、＝＝，

18、PF2

19、＝2c·tan30°＝.∵

20、PF1

21、＋

22、PF2

23、＝2a，即＋＝2a，可得c＝a.∴e＝＝.方法二　(特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令

24、PF2

25、＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴

26、PF1

27、＝2，

28、F1F2

29、＝.∴e＝＝＝.三、寻求齐次方程求离心率例3　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

30、AB

31、＝3

32、BC

33、，则E的离心率是________．思维切入　通过2

34、AB

35、＝3

36、BC

37、，得到a，b，

38、c的关系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　2解析　如图，由题意知

39、AB

40、＝，

41、BC

42、＝2c.又2

43、AB

44、＝3

45、BC

46、，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．点评　求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件

47、整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．考点　椭圆的离心率问题题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率答案　解析　在△ABF中，

48、AB

49、＝，

50、BF

51、＝a，

52、AF

53、＝a＋c.由AB⊥BF得

54、AB

55、2＋

56、BF

57、2＝

58、AF

59、2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，

60、即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为00，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是____