2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破二焦点弦的性质学案含解析新人教B版选修2-1.docx

《2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破二焦点弦的性质学案含解析新人教B版选修2-1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题突破二　焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则

2、AF

3、＝，

4、BF

5、＝；(3)

6、AB

7、＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4

8、)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题证明　(1)①当AB⊥x轴时，不妨设A，B，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程y2＝2px，消元得y2＝2p，即y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，由抛物线定义知

9、AF

10、＝

11、AA1

12、，在Rt△AFG中，

13、FG

14、＝

15、AF

16、cosθ，由图知

17、

18、GG1

19、＝

20、AA1

21、，则p＋

22、AF

23、cosθ＝

24、AF

25、，得

26、AF

27、＝，同理得

28、BF

29、＝；当θ＝90°时，可知

30、AF

31、＝

32、BF

33、＝p，对于

34、AF

35、＝，

36、BF

37、＝亦成立，∴

38、AF

39、＝，

40、BF

41、＝.(3)

42、AB

43、＝

44、AF

45、＋

46、BF

47、＝x1＋x2＋p＝＋＝≥2p，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，＋＝＋＝.(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，故满足S△OAB＝；当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，原点O到直线AB的距离d＝＝sinθ，S△OAB＝

48、AB

49、＝sinθ×＝.(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1，则

50、

51、MM1

52、＝＝＝，故以AB为直径的圆与准线相切．(7)设直线AB的方程：x＝my＋，代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.由(1)可得y1y2＝－p2.因为BB1∥x轴，∴B1，即B1，＝＝＝×＝＝kOA，所以∥且公共点为O，所以直线AB1过点O.所以A，O，B1三点共线，同理得B，O，A1三点共线．二、焦点弦性质的应用例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　D解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为y＝，代

53、入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，故所求三角形的面积为××＝.方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则

54、AB

55、＋

56、DE

57、的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k

58、，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，

59、AB

60、＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得

61、DE

62、＝4＋4k2，∴

63、AB

64、＋

65、DE

66、＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故

67、AB

68、＋

69、DE

70、的最小值为16.方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB的倾斜角为θ，则θ≠且θ≠0，因此

71、AB

72、＋

73、DE

74、＝＋＝＋＝＝≥16.当且仅当θ＝或π时，等号成立．点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦

75、问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练　过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若

76、AB

77、＝，

78、AF

79、<

80、BF

81、，则

82、AF

83、＝________.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　解析　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题意知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1