2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 专题突破三 离心率的求法学案（含解析）北师大版选修1 -1

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1、专题突破三　离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1　已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．思维切入　双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．考点　题点　答案　2或解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．　　所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，即＝或.又b2＝c2－a2，所以＝3或，所以e2＝4或，所以e＝2或.同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，所以＝

2、或，亦可得到e＝或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.点评　双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．跟踪训练1　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　D解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.方法一　设b＝k

3、(k>0)，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.二、以焦点三角形为指向求离心率例2　如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，

4、OF1

5、为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入　连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　＋1解析　方法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则

6、A

7、F1

8、＝

9、F1F2

10、＝c，

11、AF2

12、＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.方法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.点评　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．跟踪训练2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．考点　题点　答案　－1解析　方法一　如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵

13、N

14、F2

15、＝

16、OF2

17、＝c，∴

18、NF1

19、＝＝＝c，由椭圆的定义可知

20、NF1

21、＋

22、NF2

23、＝2a，∴c＋c＝2a，∴a＝，∴e＝＝＝－1.方法二　注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.三、寻求齐次方程求离心率例3　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

24、AB

25、＝3

26、BC

27、，则E的离心率是________．思维切入　通过2

28、AB

29、＝3

30、BC

31、，得到a，b，c的关系式，再由b2＝c2

32、－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　2解析　如图，由题意知

33、AB

34、＝，

35、BC

36、＝2c.又2

37、AB

38、＝3

39、BC

40、，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．点评　求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值

41、，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．考点　椭圆的离心率问题题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率答案　解析　在△ABF中，

42、AB

43、＝，

44、BF

45、＝a，

46、AF

47、＝a＋c.由AB⊥BF得

48、AB

49、2＋

50、BF

51、2＝

52、AF

53、2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为0

54、e＝.四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双