浙江专用2020版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形5.4简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换讲义含解析

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1、第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简1.化简:=.答案 2cosα解析 原式==2cosα.2.化简:=.答案 cos2x解析 原式=====cos2x.3.化简:-2cos(α+β).解 原式======.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值例1(1)[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·=.答案 解析 原式=·sin80°=·cos1

2、0°=2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.(2)已知cos=,θ∈,则sin=.答案 解析 由题意可得cos2==,cos=-sin2θ=-,即sin2θ=.因为cos=>0,θ∈,所以0<θ<,2θ∈,根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=,由两角差的正弦公式,可得sin=sin2θcos-cos2θsin=×-×=.(3)已知cos=,<α<,则的值为.答案 -解析 ===sin2α·=sin2α·tan.由<α<,得<α+<2π,又cos=,所以sin=-,tan=-.cosα=cos=-,sin

3、α=-,sin2α=.所以=×=-.命题点2 给值求角例2(1)设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为(  )A.B.C.D.或答案 C解析 ∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,∴cosα=-,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>0.又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=.(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为.答案 -解析 ∵tanα=tan[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.又∵tan2α===>0,∴0<2α<,∴tan(2α-β)===1.∵tanβ=-<0

4、,∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-.引申探究本例(1)中,若α,β为锐角,sinα=,cosβ=,则α+β=.答案 解析 ∵α,β为锐角,∴cosα=,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又0<α+β<π,∴α+β=.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.跟踪训练1 (1)已知α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=.答案 解析 ∵α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则(

5、2sinα-3cosα)·(sinα+cosα)=0,又∵α∈,sinα+cosα>0,∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,∴cosα=,sinα=,∴===.(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=.答案 解析 因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sinα=,所以cosα=,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=.所以β=.题型三 三角恒等变换的应用例3(2017·浙江)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinx

6、cosx(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解 (1)由sin=,cos=-,得f=2-2-2××=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx,得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质,得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y=asinx+bc

7、osx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.跟踪训练2(2018·浙江绍兴六校质检)已知函数f(x)=mcosx+sin的图象经过点P.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f(α)=,α∈,求sinα的值.解 (1)由题意可知f=,即+=,解得m=1.所以f(x)=cosx+sin=cosx+sinx=sin,由正弦函数的性质得,-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增

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