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1、高考数学复习指导函数的奇偶性一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。二、热点难点提示1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。2、在每年的高考试题屮，三种题型都冇可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。【考纲知识梳理】•、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果対于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数。关于y轴対称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。关
2、于原点对称注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都冇一个关于原点对称的・x在定义域屮，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，乂是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)。2、在公共定义域内，(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；(3)一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。3、若是奇函数f(x)且在x=()处有定义，则f(0)=0.
3、4、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个兀都必须成立；6、可逆性：/(-%)=/(X)O/(x)是偶函数；=f(x)奇函数:7、等价性:/(-x)=/(%)<=>/(-%)-/(x)=0/(-X)=-fM<=>/(-%)+f(x)=08、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【热点、难点精析】一、两数奇偶性的判定1、相关链接vl>判断函数奇偶性的一般步骤(1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既
4、不是奇函数又不是偶函数。(2)若定义域关于原点对称，再判定f(・x)与f(x)Z间的关系①若f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=()),则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=O),则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)JLf(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(・x)Hf(x)且f(・x)H・f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。v2>—些重要类型的奇偶函数函数f(x)=ax+ax为偶函数；函数f(x)=ax-ax为奇函数；函数f(x)=(ax-ax)/(ax+ax)=(ax-l)/(a*l)其中(a>0且aH1
5、)为奇函数;函数f(x)=loga(-—)为奇函数(a>0且aHl);1+x函数f(x)=loga(x+J兀2+1)为奇函数(a>0Fl.aHl)2、例题解析E例13讨论下述函数的奇偶性：(D/U)J16"+1+2’2X(2)/U)=ln(Vx+l+Vx)(x>0)0(x=0);1/2(a/1-x+冷一x)(x<0)⑶f(x)=1^2(71-X2+-1+1)；/2_2⑷/⑴=wT(常数Q丰0);x+a-a解：(1)函数定义域为R,-、116^+1+27f(-x)=4X2X(另解)先化简:几小斗显然/⑴为偶函数；从这可以看4X出，化简后再解决要容易得多。(2)须要分两段讨论：①设x>
6、0,-x<0,/./(-%)=1h(a/1+X+Va*)=1/2=-1z?(a/x+1-Vx)=-/(x)；②设x<0,.-x>0,/(-x)=bi(V-x+1-V-x)=In~-r==-l/?(Vl-x+V-x)=-f(x)y/l-x+V-X③当x=0吋f(x)=0,也满足f(—X)=—f(x)；由①、②、③知,对xeR有f(—x)=—f(x),・・・f(x)为奇函数;(1-x?no?・・・仁=>x2=1(1)〔兀2一1»°，•:函数的定义域为"±1,.•.f(x)=log21=0(x=±l),即f(x)的图象由两个点A(-1,0)与B(1,0)组成，这两点既关于y轴对称，乂关于原
7、点对称，・・・f(x)既是奇函数，乂是偶函数；(2)・.・x2Wa2,・•・要分a>0与av0两类讨论,—/7函数的泄义域为[(-d,o)u(o,a)],①当a>0时，U兀+川以/.Ix+a>0,./(%)=•••当a>0时，f(x)为奇函数;•/Ix+a<(V・/(x)=X—x—2ci，取定义域内关于原点刘称的两点勺aa•・・/(-)±/(--)=—±—^0,.-.当Qv0时,f(x)2253既不是奇函数，也不是偶函数
