数学分析第二章期中考试复习指导

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1、第二章期中考试复习指导要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定义，掌握闭区间连续函数的性质。典型例题1.计算下面极限lim1)limxt4解:'Jl+2x-3、<坂-2‘=lim兀+3）、((依+2)'=lim2xt4；+2）］彳）jJJ1+2兀+3)丿2■2x+3)丿<(a/1+2x-3)(VT+2432)v期1+Q—也+0xlimxtOX解：由于：/=(a_b)(厂+宀+丄设g=(1+qx)加，b=(1+/?%)«..刘+ax-站+0xlim=lim—x->0兀x->()X=lim—A->0x(1

2、+q)"-(1+0兀)"'mn-m-、(1+ax)山++(1+0兀)"丿(l+GA：)"-(1+0兀)'"'"〃】一1“也一1、(l+crx)川++(1+0兀)“[na-m=limx->0X+C莎兀2+..nm-m-、(1+crx)加++(l+0x)«namf3mn•3sinx3)limrxto(sinx)~•32vsinx^x八=lim——z-x=0xtox(sinx)4)5)liml3兀-1丿e35/1-COSX2limxtO1一COSX6)limxtOVl+tanx-/l+sinxx3tanx-sinx1limxtox31Vl+tanx+Ji+sinx

3、7)x2+llim2el^x-1XT()解：设u(x)=2el+x-2,v(x)=X2+1乂因为】im2ei+x-2*+l)=lim2A->0x严-1・Y1+X2.对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1）（Heine定理）函数limf（x）=A收敛的充分必要条件:XTXo'7V{^}H兀o'=1,26lim/(xj=AHT002）有限闭区间上连续函数是一致连续3.求无穷小阶的计算1).f(x)=sin(Jl+Jl+依-近)(xt0+)解：因为2)3)4)/(x)=sin(7T^O-冋=sin(爪爪長-Q(Jl+7T+仮+冋(J1+Jl++/2)Jl+Ql(J1+坂—

4、1)(J1+坂+1)=sin—/==sin—/—(J1+J1+V7+V2)(J1+J1+石+Q(Ji+仮+1)=sin—f=——:—(J1+a/1+y/~X+>/2)(Jl+4-1jIE芈Llimx->0.*x->()sin—/=——-(J1+Ji++V2)(Ji++1jsin(J1+J1+VI+⑹Ji+77+1)ii/、'丿{(Ji+&T77+Q(6^+i)}T(Ji+Ji++V2)(Ji++1)=1/4©limx->0y[x所以毎阶的无穷小。/（X）=xsiny[x（XT0）sv/(x)..xsinVx解：lim厶J=limX2/W=——(XT1)sin/rx1xsinx

5、->o2兀2I,故昭阶的无穷小。解：恤血严=1曲——l—I]zsin疗（y+1）=一兀、故为1阶无穷小。Jx+Jx+以(%—>0)1(%—>0)解：x->()丄X8故无穷小阶6O5)Ji-2x-也-3x(xT0)解：yjl—2%—y/l—3x/54(Vl-2%-Vl-3x)(1-2%)2+(1-2x)25、+(1-3x)3/545~(1-2x)2+(1-2x)2++(1-3x)53x2-8?=1£r(1-2兀)2+(1—2兀)2++(1—3兀)3u-.Jl—2兀-yjl—3x1lim=-Z)%-3故无穷小阶24.讨论函数连续性1)讨论函数的连续性：/(x)=limX->00解

6、:/(x)=lim齐一>00x<0;x=0;/在R上连续。x>0;H—H2)讨论函数的连续性/(x)=lim———-3)设函数/(x)在R上不恒等于零的连续函数，.冃J©+y)=f(x)f(yl色』w7?证明：f(x)=aa=f().//\2证明：由己知条件：.f(x)=f-可见/(x)>0,xg/?；乂/(加)=/(加-1)/(1)=[/(1)丁’设—=k9m=nk^>f(m)=(/(l)f=f(nk)=[_f(^)J^>/(fc)=(/(1))A,AZI72丿I〃丿又因为/(x)在R上不恒等于零的连续函数,所以存在xo,/(xo)^O,/(xo)=/(xo)/(O)

7、»(O)=l(所以，对于任意的有理数f2冷丿对于任意的无理数/xeR^—^x=>fQk/、Pk_4丿=(/(1))叙由函数的连续性知道£__1_nn+111S、rnn1,得证。V丄有n2)V%!,兀2W/]T0,3^=cr2£：,VXpX2e人,满足卜】-x^<3^J___l<£得证713)函数.f(x)=sin—在区间(0,1)连续并有界，但是在此区间上不一致连续。X5.讨论函数的一致连续1)设2(0,+00),/严［b,+00)Q>0证明下面问题证明丄在区间I=(0,+00)不一