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1、第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件§2.1数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入引例1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈问
2、题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用
3、xn－a
4、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n
5、＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式
6、xn－a
7、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由
8、xn－a
9、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固
10、定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式
11、xn－a
12、＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示
13、xn－a
14、＜εn＞N④定义中的不等式
15、xn－a
16、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化
17、就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。n>N目的：●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
18、xn－a
19、＜ε不易考虑，往往采用把
20、xn－a
21、放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n＞N时，有例3.证明分析，要使（为简化，限定n只要证.
22、当n>N时有由定义.例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有例5证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例6证例7证四:收敛的否定:数列发散注：改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性3数列极限的等价定义:对对任正整数六无穷小数列:定义极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）命题1.的极限为a<=>是无穷小量.变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。
23、命题2无穷小量加绝对值仍为无穷小量。命题3无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量命题4定义数列记作：无穷大量和特别大量是否相同，不同的话，区别在哪里？2.在同一极限意义下无穷大量和无穷小量有什么关系？思考题：若对任意M>0，总存在正整数N，使n>N时，则称数列发散到无穷大数列称为无穷数列（无穷大量）1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性（夹逼原理）7、子数列的收敛性§2.2收敛数列的性质1、唯一性定理2.2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2、有界性例如,有界无界定理2
24、.3收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.从而3保序性推论1(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N当nN时有xn0(或xn0)推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)
