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《数学分析》第二章数列极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二章数列极限（计划课时：12时）P23—41§1数列极限的定义（4时）一、数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法:通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列:常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限:以为例.定义(的“”定义)三、用定义验证数列极限：思路与方法.例1证明格式：（不妨设□）（不妨设□）要使化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须□.于是,□，当时，有.根据数列极限的“”定义知□=□.例2例3例4证19注意到对任何正整数时有就有于是，对取例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例
2、6证时，Ex[1]P341；2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.2.的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.数列极限的等价定义:19对对任正整数4.的几何意义.5.数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1.定义(的“”定义).2.定义(数列发散的“”定义).3.的“”几何定义4.数列发散的“”几何定义Th1改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:例7验证例8证明与都是发散数列.例9设作数列如下:证明六、无穷小数列:定义.Th2(数列极限与无穷小数列的
3、关系).Ex[1]P353，4，5，6，7，8.§2收敛数列的性质（4时）一、极限唯一性：（证）Th1(极限唯一性)二、收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）Th2(收敛数列有界性)三、收敛数列保号性：19Th3设若则（证）推论1设若，（注意“=”；并注意和的情况）.推论2设或.则对(或(或推论3若则对例1设.证明:若,则.注:用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当时,有.一般化有,,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4(双逼原理).(证)例2求下列极限:⑴⑵例3(例4（1）求证：（2）求证:
4、五、绝对值收敛性:Th5(注意反之不确).19(证)六、四则运算性质:Th6(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外).(证)系设数列{}和{}收敛,则利用数列极限性质求极限:两个基本极限：,()例5(1)(2).(3).其中例6例7七、子列收敛性:子列概念.Th7(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.Th8(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.Th9(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛.(简证)利用子列性质证明数列发散:例8证明数列发散.19Ex[1]P33—341—6
5、§3数列极限存在的条件（2时）一、指出数列极限的“”定义的缺陷——是非构造性的，即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限，对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限，若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th1(单调有界定理).(证)例1设证明数列{}收敛.例2(重根号),···证明数列{}单调有界,并求极限.例3求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法)解:由均值不等式
6、,有有下界;注意到对有有↘···,例4证明存在数列单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得，19+注意到且比多一项即↗.有界.综上,数列{}单调有界.评註:该证法朴素而稳健,不失大将风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式为正整数),有由利用Bernoulli不等式,有↗.为证{}上方有界,考虑数列可类证↘.事实上,19(此处利用了Bernoulli不等式
7、)↘.显然有有即数列{}有上界.评註:该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式中,令就有即↗.令可仿上证得时↗,(时无意义,时诸=,不能用均值不等式.)当时,由19由↗↘.<4.评注:该证法很奇巧.以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4P22.证法四(仍利用均值不等式)<即↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注:该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1马德尧文“均值不等式妙用两则”.证法五先证明:对和正整数,有不等式事实上，<该不等式又可变形为(为正整数)19在此不等
8、式中,取则有就有↗.取又有对成立,又由评注:该证法真叫绝,[1]采用这一证法.可参阅《TheAmericanMathematicalMonthly》1974.Vol81.№9P1011—1012.例6例7例8二、数列收敛的充要条件——
