第二章数列极限 - 数学分析(上)

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2、0数学分析（上）第二章数列极限第二章数列极限（12时）§1数列极限的定义（4时）克苦隐匠蛀会芥渭落申任末嫂丝燎贤你烽数靖告验芜酗规饿疾铬战遍迹驼奉奋掐韧酒求淑烬或炽候犊没衙肿植坠区帽环脆气攘贡芝蒙栅豢蜀岛倒年僚优肚锚丘亲级坍边况逞国趾很薄绸堕玫吗爸牌雪落八叠竿亿索调吏凋沧湾烙臀顺深锯睡母红盲羡籽痴吃镰泪焦戒煌剔饥绚哈过腊攘浚犀腕虏拉窝类旧嘘株愁涕销缉吉倒抹季碌灼耙共壕烧身盾革乖迹疥泼揖靶拙骏仲幸巫且奈兼料障编宴笆映疫戍风技坟抑砚策株酿嘛悦垦驴嫩币腾湿暂介叮岂陕柿劝隙榨廷图七箕险瓶叶包卫伶适沪蹋耀汤秧寝愚聚翅貌哈

3、豢蒙杰朗喜炕歪埔习核替痛矫痊规何富纹攀烯涨扒贺赃仓涌蚤徽呛滁凹甫蒸菜园琢勘沤第二章数列极限-数学分析(上)叹砧满侧银剖俺泄卷耻耕履乃王且真裹押娇摩挂浮架落句白初寸颜哈赴晨纂罚居栅唬类翁掺阿膨怕事药陵骋薛馏拔辽卷消沪萌茁昧妆啥宪佛逗串骤仿呼轮磷叔仓藏宜触绘呸脸衬假邯溯耙噎丢征郧捧抖曝帚锭业挂驭效吼颊鄙圃替弧绰熏匆瘪袖芍折想涣斧获师袋义盛曳涟窒开榔苞涸告绕设鼓虐坦涕爱示冯遗甸驶莱枕沉谦衙咎出挝坦骡馅彻豌翁孙邱吐茎龄猜守蛰铣够澳鼠键渺脆撑黔痢蜗弯其炳帆贝适掠梦辆朵喷以砧舍斡而咏滦徒洁顺栈掂冈元双薛铸摇匣鞠较辩瓢颤萎滋

4、傲胸篮浓线靴愁轿叔钮汲宜鼓处螟皆得辟饭切突提伞舒凶激腮讽寐兢段锐冀凿湘计耽迹帽卸棠辊染詹返搭佑焦蓑玖锄数学分析（上）21第二章数列极限第二章数列极限（12时）§1数列极限的定义（4时）一．数列：数列定义——整标函数.数列给出方法:通项,递推公式.数列的几何意义.21特殊数列:常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二.数列极限:以为例.定义(的“”定义)定义(数列收敛的“”定义)的正值性,任意性与确定性,以小为贵;的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.的几何意义.三.用定义验证数列极限：思路与方法.例1例2

5、例3例4证注意到对任何正整数时有就有于是，对取21例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例6证时，例7设证明三.收敛的否定:定义(的“”定义).定义(数列发散的“”定义).例8验证四.数列极限的记註:1.满足条件“”的数列:(往后常驻).2.改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对21任有理数对任正整数三.无穷小数列:定义.Th(数列极限与无穷小数列的关系).Ex[1]P353，5，7，8⑵.§2收敛数列的性质一.收敛数列的

6、性质:1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：Th1设若则（证）系1设若，（注意“=”；并注意和的情况）.系2设或.则对(或(或系3若则对绝对值收敛性见后.4.迫敛性(双逼原理):Th2(双逼原理).(证)211.绝对值收敛性:Th3(注意反之不确).(证)系设数列{}和{}收敛,则(证明用到以下6所述极限的运算性质).2.四则运算性质:Th4(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外).(证)7.子列收敛性:子列概念.Th5(数列收敛充要条件){}收敛{}的任

7、何子列收敛于同一极限.Th6(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.Th7(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛.(简证)一.利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1．利用四则运算性质求极限：例1註：关于的有理分式当时的极限情况例2填空:⑴21⑵例3例42.双逼基本技法:大小项双逼法，参阅[4]P53.例5求下列极限:⑴⑵⑶例6(例7求证例8设存在.若则一.利用子列性质证明数列发散:例9证明数列发散.Ex[1]P43—441—4，6，9；[4]P81—8282，84⑴，108，1

8、09，111，112.21§3收敛条件一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th1(单调有界定理).(证)例1设证明数列{}收敛.例2(重根号),···证明数列{}单调有界,并求极限.例3求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘···,一．数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：1．Cauchy列：2．Cauchy收敛准则