数学分析_第二章 数列极限

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1、§3数列极限存在的条件定义：单调递增单调递减单调数列单调减少单调增加如：9/9/20211定理9（单调有界定理）[1]单调递增有上界的数列必有极限，且它的极限等于数列的上确界.[2]单调递减有下界的数列必有极限，且它的极限等于数列的下确界.9/9/20212几何解释:注1:此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。定理9（单调有界定理）在实数系中，单调有界数列必有极限.注2：由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：在实数系中，数列自某项之后单调有界，则必有极

2、限.9/9/20213证：设{an}单调减有下界，从而有下确界。另一方面，由于a是{an}的一个下界，故.

3、

4、,,,0ee<->"$>"aaNnNn9/9/20214例1证9/9/20215证法29/9/20217例2证两边取极限，得.0lim,0,0)1(===¥®nnnxxa故则当,111<->+nnxxan时，当只要n充分大9/9/202189/9/20219例4S为有界集，证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S,使得证ax1x2x3xn9/9/202110如此继续，得到xn-1后，取9/9/202111计算复利息问题:设本金为A0,利率为r,期数为t:1.

5、若每期结算一次，则本利和A为2.若每期结算m次，则本利和Am为3.若立即产生立即结算，则本利和即为连续复利9/9/202112在金融界有人称e为银行家常数。9/9/2021139/9/202114利用算术平均值不等式和二项式展开式可以分别证明：f(n)2n-1再证有界性9/9/202117从这个例子我们看到，一个有理数列的极限却是无理数，这说明有理数域对极限运算不封闭，极限理论必须在实数范围内研究。同时，这个例子也这说明在有理数域内单调有界定理不成

6、立。e是无理数,9/9/202118例6利用例5求：解9/9/202119例79/9/202120定理10（Cauchy收敛准则）2.收敛数列的各项越到最后，离得越近，以至于充分后面的任何两项之距离可以任意小（挤到一起了）。1.Cauchy条件说明，利用数列本身就可以判断是否收敛，而不借助数列之外的数a.注9/9/202121定理10（Cauchy收敛准则）Cauchy条件该定理从理论上解决了数列极限的存在性问题。满足Cauchy条件的数列，称为基本列.3.Cauchy准则的另一种形式：9/9/202122例6证9/9/202123由Cauchy准则，{an}收敛。注：本题教材

7、上P35用的是“单调有界定理”证明的。9/9/202124例7证明证由Cauchy准则，{an}发散。pnnn++++++12111L9/9/202125第二章习题课数列极限的定义9/9/202126数列极限的等价命题9/9/202127收敛数列的性质1、唯一性；2、有界性；3、保号性；4、保不等式性；5、迫敛性；6、子列收敛性；7、四则运算性。9/9/202128数列极限存在的条件单调有界定理。Cauchy收敛准则。这两个定理都只是在实数系内成立。9/9/202129求数列{an}极限的方法：1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；2、极限的四则运算；4、利用单调有界

8、定理；3、利用重要极限5、证明奇偶子列收敛于同一个数。6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。7、利用迫敛性。9/9/202130几个常用数列的极限9/9/202131解题方面注意点：1、-N定义求极限，N的找法。*不再含有n*取整后取作N9/9/2021322、证明数列{an}单调的方法。9/9/202133例1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。答（1）发散。（2）1。（3）1/6。（4）0。由迫敛性即得。（5）1/2。9/9/202134例2证9/9/2021359/9/202136例3解将分子、分母同乘以因子(1-x),则9/9/202137解例59/9/20213

9、8例6证9/9/202139由Cauchy准则，{xn}收敛。9/9/202140例7证明证9/9/202141由Cauchy准则，{xn}收敛。9/9/202142解例89/9/202143例89/9/202144例89/9/202145P393(1)证9/9/202146P393(2)证9/9/202147P396.解9/9/202148