k5向量与三角的交汇的综合问题解法探究

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1、本文为自本人珍藏版权所冇仅供参考■向量与三角的交汇的综合问题解法探究当今髙考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新II」知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以卜•儿例解析方法，重在为备考中的考牛揭示题型规律，与数学同仁们共同归纳与探究解题策略。一、向量与三角两数性质的交汇例1：已知向量a=（co寺,sin斗）,—sin》），口炸[0,号],求：①a•b及a+b；②若/（兀）=a•b—2入

2、a+b

3、的最小值是一号

4、，求几的值。解析：①a—>3兀x3兀x•b=cos^~•cos㊁—sirry・sinj=cos2x：71Vxep,-]/0.\a+b

5、=2cosx

6、a+b

7、=(cos乎+cos^)2+(sin斗-sin彳)2刃2+2cos2x=2#cos，x®f(x)=cos2x—4入cosx即f(x)=2(cosx—X)2—1—2X2TxW[0,寸.•.OWcosxWl（1）当九VO时,当且仅当cosx=0时，y（x）取得最小值一1,这与已知矛盾。⑵当0时，当且仅当cosxn吋，/（X）収得最小值-1-2X2,山己知—]_2九2=—

8、,解得入=

9、yO⑶当X>1时，当且仅当cosx=l时,/（X）取得最小值1一4九，35由已知得1—4九=—扌,解得X=

10、,这1相矛盾：综上所述，X=

11、即为所求。点评：本题是以平血向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类与讨论的思想方法。例2、设平面向量方=（、瓦，-1）,T=（

12、,爭），若存在实数m（mHO）和角0（0S（——,—使向量c=a+（tan20—3）b,d=~ma+（tanO）b,且c丄d,22求：①试求函数加=/3）的关系式；②令t=tanO,求出函数m=g（x）的极值。rrI斤ff解析：①Ta•b=3X羽一1X*=O,c丄d•

13、:c•d=[a+(tan20—3)b]•[~tna+(tan9)b]—ina2+(tan30—3tan0)ft2=0v

14、7

15、=2,

16、T

17、=iI兀兀.*.tw=7(tan30—3tanG),其中0丘(一一,—)22②IIItanG=t,得m=g(t)=£(F—3t)tWR求导得g‘(t)=才(t2—1)令g'(t)=0,得ti=—1,t2=l当tw(—oo,—i)时，g'(t)>0当tu(-1,1)时•，gz(t)<0当tw(1,+s)吋，『(t)>0TT1•••当t=—1时，即o=-—时，m=g(t)^极人值亍42JT1当t=1时，即0=—时，

18、m=g(t)有极人值一于42点评：②问是求函数的极值运用求导的方法，这是新I口知识交汇点处的综合运用.二、向量与三角函数求值、运算的交汇例3、设a=(1+cosa,sina)、b=(1—cos。,sin卩)、c=(1,0),aepe(7r,27r),方与7的夹角为T与芝的夹角为直，7ia—B.H.01—02=—，求sin—的值.6纤Ib

19、=—cos«)2+sin2«=2sin

20、~~►2a又a•c=1+cosa=2cos^b•c=1—cosP=2cos^2•:cos0i=l^lklaCOS02=N=sinfa71•T丘(0,壬又卩U(71,27

21、1)B71••学(尹)即-f

22、a

23、=p(l+cos(】F+si/a=2cos~^~・•a-p./兀、1…sin—7"^=sin(———)=—t462点评：木题是以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的冇关知识。例4、若0是AABC内一点，则SAobc・OA+SAOca・OB+SAOab・OC=~0.证：如图所示，以O原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设OA=(p,0),OB=(qcosa,qsina),OC=(rcosp,rsinp)o则：SAOBc

24、^

25、qrsin(p—a),SA0CA=

26、prsm(27i—卩)=—^prsinPSAOAB=

27、pqsina要证Saobc0A+Saoca*OB+Sao?b■oc=ii1—=^qrsin(p—a)(p,0)—㊁prsin

28、5(qcosa,qsina)+^pqsina(rcos卩,rsinJ3)=0,只彳页证:^pqrsin(p—a)—^pqrsinpcosa+^pqrsinacosp=0②②显然成立。—^pqrsinPsina+^pqrsinasi叩=0①U>sin(p—u)=sinPcosu—sinacos卩三、向量与解三角形的交汇例5、AA

29、BC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且30A+40B+56C=_0①求数量积,•冼,冼・6X；②求AABC的面积解析：①・・・

30、6入冃0印=

31、应

32、=1