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1、对初中数学“求值问题”的解题方法探究四川省高级教师蒋仁发1.用主元法求值例1・（2001年全国初屮数学联赛题）求实数兀,y的值，使得（y一I）?+（x+y-3）2+（2x+y—6）2达到最小值。解法1：（视兀为主元）原式=5x2+6xy+3y2一30x一20y+46_[26y-303y2-20y+46I5「/6y-30?兀+10=56y—301073）"-20y+46<3y=5x+—y-3I5*（3I5y3-5'解法2：（视y为主元）原式=3）卫+（6x-20）y+5兀2—30兀+46+—y2-2y+5（5）「6
2、丿.••当兀+二）—3=0且y—丄=0时，上式取得最小值，即a:=-,^=-时，原式取得最小值丄562662=3宀口/_30兀+466%-20?-20?75x2-30x+46+3丿=3y+28+2兀2—1OxH32/§、2+2x——I2丿.••当y+X-—=0且%--=0时，上式取得最小值，即x=-,y=-时，原式取得最小值丄32266例2.（2006年山东省初中数学竞赛题）已知a+b-^c=0,a2+b2+c2=4求：a4+b4+c4的值。解：（视a”为主元）3丿10由已知得，a+b=-c.cr+b2=4-
3、c2/.ab=—（a+/?）2-（tz2+/?2）=—[（-c）2-（4-c2）=c2-222.・・a4+/?4=（a2-^b2）2-2a2b2=（4-c2）2-2（c2-2）2=8-c4a4+h4+c4=8222例3.已知3a+2b—2c=0,6a—18b+7c=OlLc工0求"十"+°的值。ab+be+ca解：（视⑦b为主元）3a+2b-2c=0得：6。一18方+7c=0a=—c3・・•cH0b=—c2疋+沪+°2_（A）2+（£c）2+c2=49•ab-.bc-.ca~Ic丄c+丄c・c+c丄c_313223
4、求」一的最小值。m+n_p2——=0的两个实数根2.用设参数法求值例4.设m,n,p均为正实数，Hz??2+h2-p2=0,解法1：令—^―=r（r>0）,则加+川=2m+nt*.*m2+n2-p2=0.I（7/7+n）2-p2=2mn/•mn=/.m,n是方秸!x2~—x+2・・・△=存-峯+2,刁o即聲的最小值为m+n2:.r?-•:t>0:.t—22解法2：利用W（m+n）2这个结论，仿“解法1”的手法來处理。3.用构造法求值例5.（2006年全国初中数学联赛题）求使J?+4+J（8—J2+16取得授小值的实
5、数x的值。解法1：（联想到勾股定理，构造直角三角形）根据题意构造图形，令AB丄4D于A,CD丄AD于D,43=2,CD=4设AP=x,则PD=S~xfE于是BP+PC=Vx2+4+7（8-x）2+16$BC设BC交AD于，当且仅当B、P、C三点共线（即P、P，重合）时等号成立，此时jH+4+J（8—#+16収得最小值，最小值等于BC的长。过A作AE//BC交DC的延长线于E,此吋，BC=AE=^82+62=10VZBP7A=ZCP/D・/ABP7sZ）CP'・・.2=亠解得%=-48—兀3解法2：（联想到两点间
6、的距离公式，构造直角地标系）・・・心+4+7（8-x）2+16=』（兀一0尸+（2—0尸*』（兀_8）2+住_（_2）『・••构造如图所示的直角坐标系，本题就是在直线y=2上求一点P（x,2）,使它到点（0,0）与点(8,-2)的距离之和最小。由“光行路线最短”原理，P(兀,交点。由待定系数法可知，过(0,4),3点的直线解析式为：y=——x+4•4y=2解方程组］3y=——x+4I4_8得两直线的交点坐标为:y=2例6.(2008年四川省初中数学竞赛题)求使y=兀-5+2兀+6取得授小值时的实数兀值,并求出y的最
7、小值。解法由绝对值的几何意义知，本题就是耍在数轴上求一点M(兀)，使它到点A(-6)的距离的2倍与到点B(5)的距离之和最小。⑴当x<-6时，y=2MA+MB>AB=5-(-6)
8、=11：(2)当兀=—6时，y=MB=AB=11；(3)当—6vxv5吋，y=2MA+MB>AB=\；MAB⑷当x=5时，y=2MA=2AB=22；iii>⑸当x>5时•，y=2MA+MB>2AB=22x—65综上所述：当x=-6时,y=
9、x-5
10、+2
11、a:+6
12、取得最小值，且y最小=11解法2：用“找零点分段讨论法”处理。3.用倒数
13、法求值”初二数学竞赛题)已知a,b,c为实数，求—的值。ab+be+ca例7.(1997年“希望杯ab_1he_1ca_1‘1=—=—
