2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法同步学案 新人教B版选修1 -2

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1、2.2.2　反证法学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点　反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考1　本故事中王戎运用了什么论证思想？答案　运用了反证法思想．思考2　反证法解题的实质是什么？答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．梳理　(1)反证法的概念一般地，

2、由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法常见的几种矛盾①与假设矛盾．②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．③与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．(3)反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)2．反证法的证明过程既可以是合情推理也

3、可以是一种演绎推理．(　×　)3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)类型一　用反证法证明否定性命题例1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．证明　假设，，成等差数列，则2＝＋，∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②由②得b＝，代入①式，得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立．故，，不成等差数列．反思与感悟　对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命

4、题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．跟踪训练1　已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数．证明　假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数．类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以≥>1.同理，≥>1，≥>1.三式

5、相加，得＋＋>3，即3>3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.反思与感悟　(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条

6、与x轴有两个不同的交点．证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三　用反证法证明唯一性命题例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根．

7、证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则＝3,＝3，两式相除得＝1，∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设