2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法同步学案 新人教B版选修1 -2

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1、2.2.2 反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.知识点 反证法王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想?答案 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么?答案 否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.梳理 (1)反证法的概念一般地,

2、由证明p⇒q转向证明:綈q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.(2)反证法常见的几种矛盾①与假设矛盾.②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.③与公认的简单事实矛盾(例如,导出0=1,0≠0之类的矛盾).(3)反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的条件和结论.②做出与命题结论相矛盾的假设.③由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果.④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ )2.反证法的证明过程既可以是合情推理也

3、可以是一种演绎推理.( × )3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证:,,不成等差数列.证明 假设,,成等差数列,则2=+,∴4b=a+c+2.①∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,②由②得b=,代入①式,得a+c-2=(-)2=0,∴a=c,从而a=b=c.这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾,∴假设不成立.故,,不成等差数列.反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明,从正面突破较困难时,可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命

4、题作为条件进行推理,推出矛盾,从而达到证题的目的.跟踪训练1 已知正整数,a,b,c满足a2+b2=c2.求证a,b,c不可能都是奇数.证明 假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.左边=奇数+奇数=偶数,右边=奇数,得偶数=奇数,矛盾.∴假设不成立,∴a,b,c不可能都是奇数.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.证明 假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.因为a,b,c∈(0,2),所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.所以≥>1.同理,≥>1,≥>1.三式

5、相加,得++>3,即3>3,矛盾.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.反思与感悟 (1)用反证法证明“至少”“至多”类命题,可减少讨论情况,目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表:原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n-1个至少有n+1个跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条

6、与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,所以a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证:方程2x=3有且只有一个根.

7、证明 ∵2x=3,∴x=log23.这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),则=3,=3,两式相除得=1,∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾.∴假设不成立,从而原命题得证.反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路:证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设

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