2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法同步学案新人教B版选修

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1、3.2.2　复数的乘法和除法学习目标　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．知识点一　复数的乘法思考　怎样进行复数的乘法运算？答案　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理　(1)复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律①对任意复数z1，z2，z3，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1

2、·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.(3)共轭复数的性质设z的共轭复数为，则：①z·＝

3、z

4、2＝

5、

6、2.②＝()2.③＝·.知识点二　复数的除法法则思考　类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？答案　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.梳理　(1)复数的倒数已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作

7、.(2)复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)．特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．(　√　)2．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)类型一　复数的乘除运算例1　计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i

8、)；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)－.解　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝＝＝＋i.(4)方法一　－＝＝＝＝2i.方法二　－＝－＝i＋i＝2i.反思与感悟　(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．跟踪训练1　计算：(1)(1－i)(1＋i)；(2)；(3).解　(1)原式＝(1－i)(

9、1＋i)＝2＝－1＋i.(2)原式＝＝＝i.(3)原式＝＝i－1.类型二　共轭复数的性质及应用例2　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴解得∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.反思与感悟　(1)z·＝

10、z

11、2＝

12、

13、2是共轭复数的常用性质．(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证

14、明一个复数是纯虚数．跟踪训练2　已知复数z满足

15、z

16、＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且

17、z

18、＝＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得或所以＝－i或＝－＋i.类型三　in的周期性例3　计算：(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；(2)－；(3)＋2016＋.解　(1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4

19、－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝47－39i.(2)原式＝－＝－＝3－i＝i－i＝0.(3)原式＝＋1008＋0＝＋(－i)1008＝i＋1.反思与感悟　(1)in的周期性①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.②＝－i，＝i.③＝－i.④设ω＝－＋i，则ω2＝－－i，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.跟踪训练3　计算：1＋i＋i2＋i3＋

20、…＋i2012.解　∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3