2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版

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1、3.2.2　复数的乘法和除法学习目标核心素养1．掌握复数代数形式的乘除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的性质，并能灵活运用．(易错点)通过学习乘法和除法，培养学生数学运算素养.一、复数的乘法法则及运算律1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3二、共轭

2、复数的性质与复数的除法1．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·＝

3、z

4、2＝

5、

6、2∈R.2．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　)(2)若z∈C，则

7、z

8、2＝z2.(　　)(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)[解析]　(1)正确．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∵

9、z

10、＝，

11、

12、＝＝，∴

13、

14、z

15、＝

16、

17、.(2)错误．举反例：如z＝1＋i，则

18、z

19、＝，z2＝2i，

20、z

21、2≠z2.(3)错误．例如z1＝1，z2＝i，显然z＋z＝0，但z1≠z2≠0.[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．i是虚数单位，复数＝________.[解析]　＝＝＝2－i.[答案]　2－i3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.[解析]　因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.[答案]　1＋2i复数代数形式的乘除运算【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，

22、若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)A．3－4i　　　　　B．3＋4iC．4－3iD．4＋3i(2)等于(　　)A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(3)计算：＝________.[思路探究]　(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[解]　(1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)＝＝＝＝－1－i.故选D.(

23、3)＝＝＝＝＝－2－2i.[答案]　(1)A　(2)D　(3)－2－2i1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．1．计算：(1)(1＋i)；(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．[解]　(1)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i.(2)(－2＋3i

24、)÷(1＋2i)＝＝＝＝＋i.共轭复数及其应用【例2】　已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.[思路探究]　→→[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得即解得或因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.1．已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z·＝

25、z

26、2＝

27、

28、2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此

29、性质可以证明一个复数是实数；(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．2．已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴解得或∴z＝1＋3i或z＝1－i.虚数单位i的幂的周期性及其应用[探究问题]1．i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？[提示]　1，i，－1，－i.2．in(n∈N)有几种不同的结果？[提示]　四种：1，i，－1，－i.3．in＋

30、in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)