2018-2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系讲末复习学案新人教A版选修

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1、第二讲直线与圆的位置关系讲末复习1.圆周角定理圆周角定理：圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，其度数等于它所对的弧的度数的一半.推论1　同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.相交弦所成角定理：圆的两条相交弦所成角的度数等于它所夹的弧与它的对顶角所夹弧的度数和的一半.2.圆内接四边形的性质与判定(1)圆内接四边形的性质定理1　圆内接四边形对角互补.定理2　圆内接四边形的外角等于它的内对角.(2)圆内接

2、四边形的判定定理　如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.推论1　如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆.推论2　如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.3.圆的切线的性质与判定(1)圆的切线的性质定理　圆的切线垂直于过切点的半径.推论1　经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.推论2　经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.(2)圆的切线的判定定理　经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)切线长定理：从圆外一点

3、引圆的两条切线长相等.推论　经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.4.弦切角(1)弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上，②一边是圆的切线，③一边是过切点的弦.三者缺一不可.(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，其度数等于它所夹的弧的度数的一半.推论　同弧(或等弧)上的弦切角相等；同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等.5.圆幂定理(1)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.推论　如

4、果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.逆定理　从圆外一点引圆的割线，如果圆上一点与这点的连线是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项，那么这点与圆上点的连线是圆的切线.题型一　分类讨论思想分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想.当我们面临的数学问题不能以统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若

5、干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后通过综合各类解而得到原问题的解答，这种解决问题的思想方法叫做分类讨论的思想方法.应用分类讨论的思想方法解题的一般步骤是：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；(2)合理分类，统一标准，不重不漏；(3)逐段逐类讨论，分级进行；(4)归纳总结，作出整个题目的结论.例1　已知：⊙O的直径AB＝2cm，过A点的两条弦AC＝cm，AD＝cm，求∠CAD所夹圆内部分的面积S.解　符合条件的圆有两种情况：(1)圆心O在∠CAD内部，如图(1).连接OC，OD，过O作OE⊥AD于E

6、.∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OC⊥AB.∵OA＝1，AE＝AD＝，∴OE＝，∴∠OAE＝30°，∴∠BOD＝60°.∴S＝S△AOC＋S扇形BOC＋S△AOD＋S扇形BOD＝×1×1＋π×12＋××＋×12＝＋＋＋＝＋(cm2).(2)圆心O在∠DAC外部时，如图(2)，有S＝S△AOC＋S扇形BOC－S△AOD－S扇形BOD＝＋－－＝＋(cm2).∴∠CAD所夹圆的部分的面积为cm2或cm2.规律方法　分析所给条件，正确把握C、D两点与直径AB的位置关系，从而确定分类的标准，以避免只考虑AC、AD在直径AB同

7、侧或异侧一种情况.跟踪演练1　已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，⊙O1的半径r1＝5，⊙O2的半径r2＝4，AB＝6，求O1O2的长.解　①若O1，O2在AB的异侧(如图(1)所示)，O1O2垂直平分AB，∴AC＝3，∴O1C＝＝4，O2C＝＝，∴O1O2＝O1C＋O2C＝4＋.②若O1，O2在AB的同侧(如图(2)所示)，易得O1O2＝4－.综上可知O1O2的长为4＋或4－.题型二　化归思想化归思想又称转化思想，是把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答

8、.在解决直线与圆的位置的有关问题时，常常需作辅助线，通过作辅助可将圆的问题化归为特殊三角形或四边形的问题，使问题得到解决.例2　如图所示，已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3.(1)求证：AF＝DF；(2)求∠AED的正弦值；(3)如果BD＝10，求△A