理论物理导论作业-第三章

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1、理论物理导论作业第三章7.什么是厄米算符本征函数的正交性和完全性？答：正交性：任意一个厄米算符它的本征函数是Ψ1、Ψ2、…Ψn…，相应的本征值为λ1、λ2、…λn…，对其本征函数系必有Ψm*Ψndτ=0；完全性：即任意态能用本征态展开。任意一个厄米算符它的本征态为Ψ1、Ψ2、…Ψn…，则对于粒子的任意可能态Ψ(r)，都可以用本征态的线性叠加，把Ψ(r)完全准确地表示出来，即有Ψr=nCnΨn(r)。12.线性叠加态Ψr=nCnΨn(r)，式中的Cn有什么物理意义？答：线性叠加态Ψr=nCnΨn(r)中的Cn的物理意义是

2、线性叠加态处于Ψn(r)态的概率。13.试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符：ddx,iddx,d2dx2,id2dx2解：①-∞+∞Ψ*ddxΦdx=Ψ*Φ

3、-∞+∞--∞+∞ddxΨ*Φdx=--∞+∞ddxΨ*Φdx≠-∞+∞(ddxΨ)*Φdx所以ddx不是厄米算符。②-∞+∞Ψ*iddxΦdx=iΨ*Φ

4、-∞+∞--∞+∞iddxΨ*Φdx=--∞+∞iddxΨ*Φdx=-∞+∞(iddxΨ)*Φdx所以iddx是厄米算符。③-∞+∞Ψ*d2dx2Φdx=Ψ*ddxΦ

5、-∞+∞--∞+∞ddxΨ*ddxΦdx

6、=--∞+∞ddxΨ*ddxΦdx=-ddxΨ*Φ

7、-∞+∞+-∞+∞d2dx2Ψ*Φdx=-∞+∞(d2dx2Ψ)*Φdx所以d2dx2是厄米算符。④-∞+∞Ψ*id2dx2Φdx=iΨ*ddxΦ

8、-∞+∞-i-∞+∞ddxΨ*ddxΦdx=-i-∞+∞ddxΨ*ddxΦdx=-iddxΨ*Φ

9、-∞+∞+i-∞+∞d2dx2Ψ*Φdx=--∞+∞(id2dx2Ψ)*Φdx所以id2dx2不是厄米算符。16.设A和B是可对易的厄米算符，试证：（1）AB是否厄米算符？（2）（AB+BA）/2是否厄米算符？（3）xpx是否

10、厄米算符？解：①-∞+∞Ψ*ABΦdx=-∞+∞(BΨ)*AΦdx=-∞+∞(ABΨ)*Φdx所以AB是厄米算符。②-∞+∞Ψ*AB+BA2Φdx=-∞+∞Ψ*AB2Φdx+-∞+∞Ψ*BA2Φdx=-∞+∞(AB2Ψ)*Φdx+-∞+∞(BA2Ψ)*Φdx=-∞+∞(AB+BA2)Ψ*Φdx所以AB+BA2也是厄米算符。③-∞+∞Ψ*xpxΦdx=-∞+∞Ψ*x-iℏddxΦdx=-iℏΨ*Φ

11、-∞+∞+iℏ-∞+∞ddxΨ*x+Ψ*Φdx=--∞+∞xpxΨ*Φdx+iℏ-∞+∞Ψ*Φdx所以xpx不是厄米算符。