理论物理导论 热统答案

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1、第七篇第一章统计理论基础1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。1．解：假设我们考察的系统是nmol的理想气体，由于理想气体状态方程为：             (1)              (2)故定压膨胀系数：而等压压缩系数:综上有理想气体（nmol）：          2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，，其中都是常数，试求此气体的状态方程。2．解：根据题意：把体积看成是数并微分有：两边同时积分有：  由极限情况下：  ,     故：            得到：           3．一弹性棒的热

2、力学状态可用它的长度L，应力描述f和温度T关系,即为其状态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：其中为棒横截面积，为线膨胀系数，为杨氏模量。3．证明：杨氏模量的定义：与类比线胀系数：对长度积分有：证毕 4．对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程：，其中是常数，只是的函数.证明：（a）     (b)状态方程：4．证明：(a)由：         （1）又由：             （2）（2）式两边对求导（T一定时）：此式与比较可知：f（P）=（因与T无关也与P无关）(b)将带入

3、(1)式有：              当时，,故 5．试给出半径为的维球体积：5．证明：在半径为1的维球区域内积分为：                以另一种方式求上述积分有：                由两式可知：证毕 6．利用附录给出的斯特林公式：证明上题中的系数满足下式：6．证明：第一部分：只要将上题中解答过程的(3)式中的换成即得。故关键是证明第二部分由于           (1)由于：即有（1）式成立，故待证命题成立。证毕 第二章统计热力学基础 1．单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能

4、量比占据间隙点时高。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数。（a）    考虑有个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵（b）   设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？（c）    若，晶体的温度时300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量，则占据格点时能量。现有个原子占据间隙点故有个占据格点。此宏观态对应的微观态数故熵：（b）按（a）中晶体达到平衡总能量：根据：（d）   由代入（b）式求得：2．考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由个长度为链环沿着轴，但可

5、以重叠（如图），链条两个端点的距离为，系统是孤立的，链环各种方位有相同的能量，证明时可以得到胡克定律。        证明：我们从端点开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“+”，指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为，所有指向左方的链环数为则总链环数为：且几何关系：两端链条间隔为的这样一个宏观态（即一定使一定）对应的微观态数故熵故张力：当时，即时有张力近似地为：（为比例常数）此即为胡克定律。证毕。20．证明下列平衡判据（a）在不变情形下,平衡态的最小.（b）在不变情形下，平衡态的最小。证明：（a）对于封闭系

6、统，由热力学第一定律热力学第二定律当都不变时表明不变时，系统进行的方向是沿着减小的方向，直到达到平衡时最小.（b）热力学第一定律可以得到（是非膨胀功）当不变时，即且无非膨胀功，有：故系统沿着减小方向进行，直到达到平衡时最小。证毕. 22．在三相点附近，固，气二相的平衡曲线在图上的斜率比液，气两相平衡曲线的斜率陡，试从物理上说明。答：由克劳修斯——克拉拍龙方程:可以知道，再三相点时为一定，故平衡曲线的斜率主要起决于，其物理意义在于：以相变到相过程中，单位摩尔体积改变所吸收的潜热。所以固－气二相的平衡曲线在图上的斜率比液-气两相

7、平衡曲线的斜率陡，说明从固到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热大于从液到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热。物理实质在于：固相到液相，液相再到气相可以等价于固相到气相，故而固到液的改变一般不大，故近似地显然这样得到解释。 23．(a)用自由能判据，而不是用自由焓判据证明麦克斯威等面积法则。（b）用热力学第二定律证明等面积法则。23．证明：假设段表示实际气体气—液平衡相变过程，按照自由能判据,由于：可知在点与点，有相同的温度，故：                (1)对（1）式两遍从求积分：          (2)自

8、由能是状态量，与积分过程无关。（2）式右边按AOB积分与按AJOB积分所得值完全相同。按照一重积分几何意义有：此即等面积法则。（2）若按热力学第二定律：考虑在A.B两点均为态函数的值，且                           由（1）式：