高考数学二轮复习专题3及第2讲三角恒等变换与解三角形课后强化训练

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1、专题三　第二讲三角恒等变换与解三角形A组1．(2017·河北三市联考)若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tanθ等于(　B　)A．－　　B．　　C．　　D．2[解析]　本题主要考查三角恒等变换．由已知得sinθ＋cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，故选B．2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于(　A　)A．B．－C．D．－[解析]　sin(α＋)－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝．(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　C　)A．B．C．－D．－[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关

2、系．将sinα＋2cosα＝两边平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，∴4sinαcosα＋3cos2α＝，∴＝．将左边分子分母同除以cos2α得，＝，解得tanα＝3或tanα＝－，∴tan2α＝＝－．3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(　B　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．4．设tan

3、α、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　A　)A．－3B．－1C．1D．3[解析]　本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A．[点评]　运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　B　)A．2B．2C．D．1[解析]　由正弦定理得：＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，∴＝．∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴cosA＝．又0

4、C＝π－A－B＝，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝＝2．6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝____.[解析]　由二倍角公式，得cos2－sin2＝cos(2×)＝．7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__15__.[解析]　设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15．8．(文)(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋a

5、c.(1)求∠B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．[解析]　(1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝．又0<∠B<π，所以∠B＝．(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA－cosA＋sinA＝cosA＋sinA＝cos．因为0<∠A<，所以当∠A＝时，cosA＋cosC取得最大值1．(理)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c，(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解析]　(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinB

6、cosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC可得cosC＝，所以C＝．(2)由已知，absinC＝．又C＝，所以ab＝6．由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．所以△ABC的周长为5＋．9．(文)(2017·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．[解析]　(1)由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b．由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定

7、理，得cosA＝＝＝－．(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB中，得sinB＝＝．由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝．于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×(－)－×＝－．(理)(2017·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.(1)求b和sinA的值；(2)求sin(2A＋)的