高中数学第2章统计2.4线性回归方程2教案苏教版必修

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1、2.4　线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象，我们知道各点在同一条直线上.再看下面的问题（即上一节课的练习2）：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因

2、此，可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少.但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图.1.散点图（scatterplot）：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律.在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角

3、到右上角的区域.对于这种相关关系，我们称它为正相关.请学生举例：两个变量之间是正相关的关系.例如：某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图，它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来，从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动.能画出这条直线吗？请大家一起想一想，该怎么办，才能作出这条直线呢？请大家设计方案，可以互相讨论.方案1：

4、采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，达到一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程.分析：这个想法很好，但是操作起来有一定难度，因为我们画符合条件的直线不能直接画出.还有什么新的办法能解决这个问题？方案2：在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.分析：画直线时使得直线两侧的点的个数基本相同的直线能画无数多条，这样符合条件的直线就不唯一了，再仔细考虑一下，我们究竟应当怎样作出.方案3：在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距，将这两个平均数作为回归直线方程的斜率和截距.分析：如果有6个散

5、点,按照方案3的办法,将要作15条直线,这样计算15条直线的斜率和截距分别求出的计算量是一个很大的工程，由此可见,该方案不具有可行性,那么怎样才能作出“从整体上看各点与此直线距离最小”的直线呢？用方程=bx+a的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近，那么，怎样衡量=bx+a与图中的点最接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值代入直线方程，得到相应的六个的值：26b+a,18b+a,13b+a,10b+a,4b+a,-b+a.这六个数值与表中相应的六个的实际值应该越接近越好.所以，我们用类似于估计总体平均数时的思想，考虑离差平方和Q(a,b)=(26b+a-20)

6、2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+(10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a-64)2=1286b2+6a2+140ab-3280b-460a+10172.Q(a,b)是直线=bx+a与各个散点在垂直方向（纵轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线=bx+a与图中6个点的接近程度，所以，设法取a，b的值，使Q(a,b)达到最小值.先把a看作是常数，那么Q是关于b的二次函数.用配方法可得，当b=-时，Q取得最小值.同理，把b看作是常数，那么Q是关于a的二次函数.用配方法可得，当a=-时，Q取得最小值.因此,当b=-，a=-时,Q取得最小值,由此解得b

7、≈-1.6477,a≈57.5568.所以所求的直线方程为=-1.6477x+57.5568.像这样能用直线方程=bx+a近似表示的相关关系叫做线性相关关系.人们经过长期的实践与研究,已经得出了从数量关系的角度来计算回归直线方程的斜率与截距的一般公式为:,从而得到回归直线方程为=bx+a.下面我们一起来探究一下这个公式.设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1),(x2,y2),…，(xn,yn),设所求的回归直线方程为=bx+a，其中a，