高中数学第一章函数概念1.2.2函数的表示法课堂导学案

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1、1.2.2函数的表示法课堂导学三点剖析一、函数的三种表示方法【例1】作出下列函数的图象：（1）y=2-x,x∈Z;（2）y=2x2-3x-2(x>0);（3）y=思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.图1（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.图2(3)这个图象是由两部分组成的，当x≥1时，为双曲线y=的一部分，当x<1

2、时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示.图3温馨提示1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.【例2】由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).

3、由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,因此3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=ax+5a+b=2x+17,则得即故函数解析式为f(x)=2x+7.温馨提示求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.二、根据已知关系,写出函数的解析式【例3】在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右

4、图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，△ABP各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.解：如上图，当点P在线段BC上时，即0

5、的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.【例4】(1)已知f(+1)=x+2,求f(x);(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1),求f(x).解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.∴f(x)=x2-1(x≥1).温馨提示此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于

6、“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).温馨提示此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式.(2)∵af(x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=,于是得关于f(x)的方程组：解得f(x)=(a≠±1).温馨提示本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已

7、知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).三、映射的概念【例5】下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,x∈M;(2)设M={平面上的点}，N={(x,y)

8、x,y∈R}，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；(3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,x∈M;(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，

9、-3}，对应关系：M中的元素开平方.思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映