高中数学第一章数1.3.1正弦函数的图象与性质第1课时课堂探究学案

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质课堂探究探究一用“五点法”作函数的图象1．“五点法”是作三角函数简图的常用方法，要掌握好五点的选取及连线的光滑、凸凹方向．2．作图过程中，要注意体会整体代换的思想．3．在解题中，常用“五点法”作出简图，使计算更加快捷．【例1】作出y＝－sinx，x∈[－π，π]的简图．解：列表得：x－π－0πy010－10作出图象如图所示：探究二正弦函数图象的应用利用正弦函数的图象可以求解形如sinx>a或sinx

2、的x的集合，可先求出在一个周期内适合条件的区间，再根据函数的周期性，加上2kπ(k∈Z)即可；(2)可转化为解不等式组先将满足两个不等式的x的范围解出，然后再在数轴上求交集．解：(1)由题意知2sinx＋1≥0，sinx≥－．因为在一个周期上符合条件的角的范围为，所以函数定义域为(k∈Z)．(2)根据函数表达式可得⇒在数轴上表示出这两个不等式，如图所示，可得函数定义域是[－5，－π]∪[0，π]．规律总结正弦函数y＝sinx的定义域为R，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，则由解析式有意义得到关于正弦或余弦的三角不等式组，而解三角不等式(组)，可利用基本三角函数的图象或

3、单位圆中三角函数线直观地求得解集．【例3】求方程sinx＝，x∈[－3π，3π]的解的个数．分析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sinx与y＝的图象，观察交点个数．解：如图所示：由图中看出两函数有7个交点，所以sinx＝，x∈[－3π，3π]有7个解．技巧点拨将方程的根转化为函数图象的交点时，要注意图象的边界何时处在相离的位置，要观察全面．探究三正弦函数性质的应用【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝．分析：利用函数奇偶性的定义进行判断．解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，所以f(－x)

4、＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)函数应满足1＋sinx≠0，所以函数的定义域为．所以函数的定义域不关于原点对称．所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．规律总结(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法，即偶函数也可判断f(x)－f(－x)＝0或＝1(f(x)≠0)；奇函数也可判断f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)．【例5】比较下列各组数的大小：(1)sin和sin；(2)sin和sin；(3)sin和sin；(4)

5、sin194°和cos160°．分析：变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．解：(1)sin＝sin＝sin．因为0<<<，且y＝sinx在上单调递增，所以sinsin．(3)sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin．因为0<<<，且y＝sinx在上单调递增，所以sin

6、为0°<14°<70°<90°，所以sin14°－sin70°，即sin194°>cos160°．方法归纳常利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小，其方法是：(1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较；(2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较．【例6】求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝cos2x＋sinx．分析：(1)先用y表示出sinx，利用sinx的有界性求；(2)转化为二次函数的最值问题，要特别注意sinx的范围对二次函数的影响．解

7、：(1)因为y·sinx＋y＝sinx－2，所以sinx＝．又

8、sinx

9、≤1，所以≤1．所以y≤－．所以值域为．(2)y＝－sin2x＋sinx＋1＝－＋．因为－≤x≤．所以－≤sinx≤．所以当sinx＝－时，ymin＝；当sinx＝时，ymax＝．技巧点拨求与正弦函数有关的三角函数式的值域(最值)常用的方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性；(2)转化为关于sinx的二次函数．