高中数学第一章数1.3.1正弦函数的图象与性质课堂导学案

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质课堂导学三点剖析一、正弦函数的图象【例1】作函数y=3tanxcosx的图象.思路分析:注意函数的定义域.解：由cosx≠0，得x≠kπ+，于是函数y=3tanxcosx的定义域为{x

2、x≠kπ+,k∈Z}.又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx(x≠kπ+,k∈Z).按五个关键点列表：x0π2πsinx010-103sinx030-30描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图）先作出y=3tanxcosx，x∈［0,2π］的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为

3、{x

4、x=kπ+,k∈Z}的点，得到y=3tanxcosx的图象.温馨提示（1）函数y=3tanxcosx的图象与y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的图象在x=kπ+处不同.因此，作出y=3sinx的图象后，要把x=kπ+（k∈Z）的这些点去掉.（2）作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性.因此，作函数图象时，要先求定义域.各个击破类题演练1画出y=2sinx，x∈［0，2π］的图象.思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五

5、个点连接起来就得到y=2sinx，x∈［0,2π］的图象.解：列表：x0π2πsinx010-102sinx020-20描点并将它们用平滑曲线连接起来：温馨提示五点法是画三角函数图象的基本方法，其步骤为：（1）列表；（2）描点；（3）连线.变式提升1根据正弦函数图象求满足sinx≥的x的范围.解：首先，在同一坐标系内，作出y=sinx，y=的图象.然后观察长度为2π的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］找出符合sinx≥的x的集合［,］.最后拓展到x∈［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.温馨提示(1)一般地

6、，y=sinx观察长度为2π的区间，常常是［0,2π］或［-,］,即一个周期区间.(2)这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决.二、正弦函数的定义域,值域与性质【例2】求下列函数的值域和最值:(1)y=2sinx-1;(2)y=3sin(3x+)+2;(3)y=2cos2x+5sinx-4;(4)y=.思路分析:利用

7、sinx

8、≤1,通过变量代换转化为基本函数.解：(1)∵-1≤sinx≤1,∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.当x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1;当x=2kπ-(

9、k∈Z)时,y有最小值-3.值域为［-3,1］.(2)u=3x+,则有y=3sinu+2,∴值域为［-1,5］.当u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,y有最大值5.当u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,y有最小值-1.(3)设sinx=u,则

10、u

11、≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①问题转化为在定义域［-1,1］内求二次函数①的值域问题.配方,有y=-2(u-)2+,∵-1≤u≤1,∴当u=-1,即x=2kπ-(k∈Z

12、)时,y有最小值-9;当u=1,即x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1.∴函数y的值域为［-9,1］.(4)原函数可化为y=,即y=1-.∵1≤sinx+2≤3,∴≤≤1,1≤≤3,-3≤≤-1.故-2≤1≤0.∴函数y的值域为［-2,0］,并且当x=2kπ+时,y=0;当x=2kπ-时,y=-2.类题演练2求下列函数的值域:(1)y=cos2x+2sinx-2；(2)y=.（1）解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.∵-1≤sinx≤1,∴sinx-1

13、∈［-2,0］.∴y∈［-4，0］.∴函数y=cos2x+2sinx-2的值域是［-4，0］.（2）解法一：∵y==1+,∴当sinx=-1时，ymin=1+=.∴值域为［,+∞).解法二：由y=,得sinx=.又∵-1≤sinx≤1,∴∴y≥.∴函数y=的值域为［,+∞).温馨提示（1）一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，用上述方法时，要注意三角函数的特性.（2）求三角函数的值域，主要是运用sinx,cosx的有界性，以及复合函数的有关性质.变式提

14、升2求函数y=的定义域.思路分析:被开方数为非负数,对数的真数必须大于0.解:为使函数有意义,需满sinx>0,即由正弦函数或单位圆,如图所示,∴{x

15、2kπ

16、2kπ+≤x<2kπ+π,k∈Z}.【例3】求函数y=2sin(-x)的单调区间.思路分析:可依据y=sinx的单调区间来求本题函数的单调区间.解：y=2sin(-x)=-2sin(x-),∵y=sinu(u∈R)的递增,递减区间分别为［2