2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.2应用举例（第3课时）三角形中的几何计算学案新人教B版

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1、第3课时　三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养．2．借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB；(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)∠A＋∠B＝π－∠C，＝－；(2)在三角形中大边对大角，

2、反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C，sin＝cos，cos＝sin.1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．3B　[S△ABC＝absinC＝×2×3×＝.]2．在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，则△ABC的面积为________．9　[由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴＝，∴b＝6，∴S＝×6

3、×6×sin120°＝9.]3．若△ABC的面积为，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________．2　[在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sinC＝×2·AC·sin60°＝AC＝，∴AC＝2.∵BC＝2，∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝2.]三角形面积的计算【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且∠B＝，cosA＝，∴∠C＝－∠A，sinA＝.∴sinC＝sin＝

4、cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.又∵∠B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.∴△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．[解]　由正弦定理知＝，

5、即＝，所以sinB＝，由于AB>AC，所以∠C>∠B，故∠B＝30°.从而∠A＝180°－120°－30°＝30°.所以△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝×2×2×sin30°＝.三角形中的计算【例2】　在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为，求边长A．[解]　如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.因为c＝4，b＝7，AD＝，在△ACD中，有cosC＝，在△ABC中，有cosC＝.所以＝.解得x＝.所以a＝2x＝9.1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦

6、定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．2．在△ABC中，已知点D在BC边上，满足·＝0，sin∠BAC＝，AB＝3，BD＝.(1)求AD的长；(2)求cosC．[解]　(1)因为·＝0，所以AD⊥AC，所以sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD，因为sin∠BAC＝，所以cos∠BAD＝.在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3.由于AB>AD，所以AD＝3.(2)在△A

7、BD中，由正弦定理可知，＝，又由cos∠BAD＝，可知sin∠BAD＝，所以sin∠ADB＝＝，又∠DAC＝90°，所以cosC＝sin∠CDA＝sin∠ADB＝.三角形中的综合问题[探究问题]1．如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？[提示]　在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下，若已知∠ADB=α，AB

8、＝m，DC＝n，如何求出AC?[提示]　若sinB＝sin∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出