2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.2应用举例（第1课时）解三角形的实际应用举例学案新人教A版

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1、第1课时　解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文

2、学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？[提示]　利用正弦定理和余弦定理．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示]　东南方向．1．如图所示，为

3、了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　)A．α，a，b　B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，bC　[选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)A．α＋βB．α－βC．β－αD．αC　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为(　　

4、)A．B．2C．2或D．3C　[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3x＋6＝0，解之得x＝2或.]4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为(　　)A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋3)mA　[由正弦定理可得＝，则PB＝＝(m)，设树的高度为h，则h＝PBsin45°＝(30＋30)m.]测量距离问题【例1】　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成

5、60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)A．10海里　　B．海里C．5海里D．5海里D　[根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素

6、，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin30°＝60(m)．]测量高度问题【例2】　(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上

7、，则山高AB等于(　　)A．100米B．50米C．50米D．50(＋1)米(2)在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)A．20mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)m思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．(1)D　(2)B　[(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50(＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m

8、.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20m，∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B.]解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已