2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.2应用举例（第3课时）三角形中的几何计算学案新人教A版

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1、第3课时　三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)．1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养.2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB；(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角

2、形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？[提示]　(1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π－C，＝－；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin．1．下列说法中正确的是_____

3、___(填序号)．①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°；③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；④在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.③　[①中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.②由S＝bcsinA可得sinA＝，∴A＝60°或120°.④在△ABC中由sin2A＝sin2B得A＝B或A＋B＝.]2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则

4、△ABC的面积为________．9　[由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝absinC＝18×＝9.]3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．3　[由题知S△ABC＝absinC＝15得sinC＝.又由＝2R得c＝2×＝3.]三角形面积的计算【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)∵角A，B，C为△ABC

5、的内角，且B＝，cosA＝，∴C＝－A，sinA＝.∴sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.∴△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

6、sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)A．6B．3　　　C．2　　　D．2或3D　[因为S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]三角恒等式证明问题【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：＝.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．[证明]　法一：(边化角)由余弦定理a2＝b2＋c2－2

7、bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：＝.依正弦定理有＝，＝，∴＝＝.法二：(角化边)＝＝＝＝.1．三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系．(2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化．2．三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．2．在△ABC中，求证：＝.[证明]　由正弦定理得右边＝

8、＝＝＝＝＝左边．∴原等式成立.解三角形中的综合问题[探究问题]1.如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？[提示]　在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知∠ADB＝α,AB＝m，DC＝n，如何求出AC?[提示]　若sinB＝sin∠A