2018年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算学案新人教a版

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1、第3课时　三角形中的几何计算学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)．[自主预习·探新知]1．三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝absinC＝bcsin_A＝casin_B；(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？[提示]　(1)适用．三角形的面积公式对任意的三

2、角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π－C，＝－；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C，sin＝cos，cos＝sin.[基础自测]1．思考辨析(1)公式S＝absinC适合求任意三角形的面积．(　　)(2)三角形中已知三边无法求其面积．(　　)(3)在三角形

3、中已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　提示：已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．2．下列说法中正确的是________(填序号)．(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°；(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.【导学号：9143207

4、5】(3)　[(1)中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.(2)由S＝bcsinA可得sinA＝，∴A＝60°或120°.(4)在△ABC中由sin2A＝sin2B得A＝B或A＋B＝.]3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积________．9　[由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝absinC＝18×＝9.]4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________.【导学号：91432076】3　[由题知

5、S△ABC＝absinC＝15得sinC＝.又由＝2R得c＝2×＝3.][合作探究·攻重难]三角形面积的计算　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，∴C＝－A，sinA＝.∴sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.∴△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.[规律方法]　

6、1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．[跟踪训练]1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，求△ABC的面积．[解]　由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，

7、所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.三角恒等式证明问题　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：＝.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．[证明]　法一：(边化角)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：＝.依正弦定理有＝，＝，∴＝＝.法二：(角化边)＝＝＝＝.[规律方法]　1．三角恒等式证明

8、的三个基本原则：(1)统一边角关系．(2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化．2．三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[跟踪训练]2．在△ABC中，求证：＝.【导学号：91432078】[证明]　由正弦定理得右边＝＝＝＝＝＝左边．∴原等式成立．解三角形中的综合问题[探究问