2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第10节导数的概念及运算教学案理北师大版

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1、第十节　导数的概念及运算[考纲传真]　1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式基本初等

2、函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(φ(

3、x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．已知f(x)＝xl

4、nx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)A．e2　　　　　　　B．eC.D．ln2B　[∵f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，由f′(x0)＝lnx0＋1＝2得lnx0＝1，∴x0＝e.]3．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)A.　　　　B．　　　　C.　　　　D．D　[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]4．曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．

5、x－y＋1＝0　[∵y′＝2x－，∴y′

6、x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.]5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.－　[∵f′(x)＝－2sin2x，∴f′(0)＝－.]导数的计算1．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.－4　[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]2．求下列函数的导数：(

7、1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝sin；(3)y＝.[解]　(1)因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.(2)因为y＝sin＝－sinx，所以y′＝′＝－(sinx)′＝－cosx.(3)y′＝′＝＝－.[规律方法]　导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.导数的几何意义►考法1　求切线方程【例1】　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－

8、1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2x　　　　　　　　B．y＝－xC．y＝2xD．y＝xD　[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D．]►考法2　求切

9、点坐标【例2】　已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)A．3B．2C．1D．B　[因为y＝－3lnx，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B．]►考法3　切线的条数问题【例3】　过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有