3.1.2导数的概念 (3)

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1、第58页共58页第三章导数及其应用全国卷年考情图解高考命题规律把握1.本章内容在高考中一般为“一小一大”，大约占17分．2.(1)客观题中主要考查导数的运算及求导法则、导数的几何意义，难度一般；有时也考查导数的应用，难度较大．(2)解答题一般都是两问的题目，第1问考查求曲线的切线方程、求函数的单调区间、由函数的极值点或知曲线的切线方程求参数，属于基础题；第2问利用导数证明不等式、不等式恒成立、求参数的取值范围、函数的零点问题，考查函数的思想、转化的思想及分类讨论的思想，难度较大.第一节导数的概念与运算一、基础知识批注——理解深一点1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化

2、率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、x＝x0，即f′(x0)＝＝.f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0第58页共58页处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条

4、切线.3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C)′＝0(C为常数)；②(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；③(sinx)′＝cos_x；④(cosx)′＝－sin_x；⑤(ex)′＝ex；⑥(ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；⑦(lnx)′＝；⑧(logax)′＝(a>0，a≠1)．(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；③′＝(v(x)≠0)．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)′＝－(f(x)≠0)；(3)[af(

5、x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．二、基础小题强化——功底牢一点第58页共58页(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(3)因为(lnx)′＝，所以′＝lnx．(　　)(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(分母不为零)必可导．若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√(二)选一选1．下列函数中满足f(x)＝f′(x)的是(　　)A．f(x)＝3＋x　　　

6、　　　B．f(x)＝－xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝0解析：选D　若f(x)＝0，则f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．故选D.2．曲线y＝＋2在点(1，m)处的切线方程为(　　)A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－4D．y＝－2x＋3解析：选D　当x＝1时，y＝＋2＝1.因为y′＝－，所以y′x＝1＝－＝－2，则所求的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3.故选D.3．下列求导运算正确的是(　　)A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln3；

7、(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故选项B正确．(三)填一填4．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－3第58页共58页5．(2018·黑龙江大庆实验中学期中)设f′(x)为函数f(x)的导数，f(x)＝x2－2x＋f′(1)，则f(－1)＝________.解析：由条件知f′(x)＝2x－2，则f′(1)＝0⇒f(x)＝x2－2x，故f(－1)＝1＋2＝3.答案：3[

8、典例]　求下列函数的导数．(1)y＝lnx＋；(2)y＝(2x＋1)·ex；(3)y＝；(4)y＝x－sincos.[解]　(1)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(2)y′＝[(2x＋1)·ex]′＝(2x＋1)′·ex＋(2x＋1)·(ex)′＝2ex＋(2x＋1)·ex＝(2x＋3)·ex.(3)∵＝x＋x，∴y′＝′＝(x)′＋(x)′＝x－x.(4)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.[解