-学年高中数学生活中的优化问题举例同步练习人教A版选修-

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1、选修2-21.4生活中的优化问题举例一、选择题1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)A．R　　　　B．2R　　　C.R　　　D.R[答案]　C[解析]　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.当00；当

2、V＝x2h，∴h＝.∴S表＝2×x2＋3x·＝x2＋，∴S′表＝x－，令S′表＝0得x＝.当0时，S′>0.因此当底边长为时，其表面积最小．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．150C．200D．300[答案]　D[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.-9-所以总利润为P＝R－C＝∴P′＝令P′＝0，得x＝300，当00，当300

3、可知当x＝300时，取得最大值，故应选D.4．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为(　　)A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3[答案]　B[解析]　设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝4.5－3x(m)故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)当00；当1

4、大值从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m2)．5．若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(　　)A．2πR2B．πR2C．4πR2D.πR2[答案]　A[解析]　设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x＝∴S侧＝2πxh＝2πh＝2π-9-令t＝R2h2－，则t′＝2R2h－h3令t′＝0，则h＝R当00，当R

5、y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]　C[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算．∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．7．内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　)A.和RB.R和RC.R和RD．以上都不对[答案]　B[解析]　设矩形一边的长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4(0

6、R)，l′＝2－，令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．当00；当R0；当

7、内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　　)A.B.rC.rD．r[答案]　D[解析]　如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，∴S＝·rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝.即当cosθ＝时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.故应选D.10．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数-9-

8、x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量