《 生活中的优化问题举例》（人教a版）

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1、人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育《生活中的优化问题举例》◆教材分析“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值。而本节内容主要是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生的

2、学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。本节内容是导数知识的应用问题，所以数学建模，用导数求函数的单调性、最值，导数的意义是学生学习的必备知识。◆教学目标【知识与能力目标】1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。【过程与方法目标】用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体

3、的辨证关系。培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度。◆教学重难点◆【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程一、复习导入【师】问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？【生】学生讨论回答【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小

4、）值的有力工具。这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。二、新知学习问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？（1）与几何有关的最值问题；（2）与利润及其成本有关的最值问题；用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育（3）效率最值问题。【生】学生讨论回答问题2：解决优化问题的方法有哪些？首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一

5、个有力的工具。【生】学生讨论回答问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？【生】学生讨论回答三、典例探究1海报版面尺寸的设计【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为此时四周空白面积为用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四

6、周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【引申思考】在本题解法中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？【生】学生讨论回答【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？【探究解答】由解法一可得：用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育【规范解答】解法一：设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积由题意可知，当x过小（接

7、近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处。【反思提高】用心用情服务教育人民教育出版社A版高二(选修2-2)畅言教育事实上，可导函数在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点