《生活中的优化问题举例》

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1、1.4生活中的优化问题举例新课引入:导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．优化问题1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[分析]根据所给几何体的体积公式建模．[解析]设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得

2、箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(00，当10

3、通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为,此时四周空白面积为。求导数，得令解得舍去）。因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。<0；当当时，时，>0.于是宽为解法二：由解法(一)得已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[解析]设圆柱的底面

4、半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?例3:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最小？２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是令当当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半

5、径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题回顾总结解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的

6、工具。[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评]建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．一、选择题1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()[答案]A2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50[答案]C3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器

7、的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A二、填空题4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案]1∶15．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．[答案]6%[解析]设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.