生活中的优化问题举例(1)

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1、§1.4生活中的优化问题举例（一）教材分析本节内容是数学选修2-2第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程，逐步展开问题，解决问题，让学生体会数学建模的过程。培养学生

2、主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。教学目标：重点:通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。难点：让学生发现问题、分析问题、解决问题，数学建模。知识点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。教育点：利用导数，解决

3、一些生活中的优化问题。自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决。考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。易错易混点：建立适当的函数关系，并确定函数的定义域。拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示的数学问题解决数学模型作答优化问题的答案用导数解决数学问题教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

4、通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。二、探究新知探究（一）：海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？思考3：设海报四周空白的面积

5、为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的128宽dm，此时四周空白面积为x128S(x)(x4)(2)128x5122x8(x0)x512S'(x)22x512512S(x)2x8，S'(x)22xx令S'(x)0可解得x16（x-16舍去）列表讨论如下：x(0，16)16(16，+∞)S'(x)—0+S(x)

6、减函数↘极小值增函数↗∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm，宽为8dm时，S(x)最小答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的空白面积最小。探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【背景材料】下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，

7、其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？4320.2r0.8r3思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的定义域是什么？3r2f(r)0.8(r)(0r6)33思考4：函数f(r)0.8(rr2)(0r6)是否存在最值？若存在，如何求

8、其最值？33.2f(x)f(2)min3f(x)f(6)28.8max3r2思考5：函数f(r)0.8(r)(0r6)3的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影响？当0＜r＜3时，利润为负值；Y----------3O2X------当r＝3时，利润为零；当r＞3时，利润为正值，并随着瓶子半