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《浅谈数列求和的常用方法__梁洪》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列求和的常用方法梁洪高州市大井一中茂名市邮编：525231289326099@qq.com指导教师：吴光年摘要：数列是高考的重点内容，特殊数列求和问题一般都是转化为等差、等比数列的求和问题，数列求和的方法有很多，常用的方法有：公式法、错位相减法等多种方法。关键词:数列；求和公式;求和方法做任何事情都要讲究方法。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法止确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功耍靠止确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象，因此，我们应透彻理解、熟练掌握其中
2、的常用方法。针对数列其口身的特殊性，数列求和的基本思路是：抓通项，找规律，套方法，找出适当的方法来解决问题。要注意两大基本特点：一是求和形式的变化的多样性；二是项与项，项与项数nZ间的函数具冇隐含性和灵活性。下面介绍数列求和的几种方法：一、错位相减法这种方法是在推导等比数列的前料项和公式时所用的方法。如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积组成，即数列｛©｝的等比数列，数列｛仇｝是等差数列,则数列｛anbn｝的前n项和S”求解,均可用错位相减法求和,即在和式两边同时乘以公比，错位相减，从而将其转化为一个新的等比数列求和。例1.设a^O求
3、数列a2a3a3-nan的前〃项和分析：这个数列的每一项都含有。，而g=1或不等于1,对数列求和方法上的本质的不同，所以解题时需耍进行讨论解：若a=l,S“二］+2+3+...+刃二心+1)2若a北1,S”=a+2a2+3q‘此时，该数列可以看成等差数列1、2、3・・・斤与等比数列於、/、/和的积构成的数列，且公比g=0,在上述等号两边同时乘d有aS”=a~+2u~+3a"+…+net,?+
4、两式相减得(1—G)S=a+a$+cz“+…a"—nci/,+l所以,a(l—d")血曲二加卄2一/+]”+】+0(1-6/)21一0(1-a)2例2.求和：
5、3C*+6C,；+…+3nC：：解:令S〃二0C?+3C+6C：+9C；+…+3nC；：将上式屮各项和次序反过来，得S”=3nC：+3(/7-1)阳+3(n-2)C：~2+…+3C：+0C：上述2式左右两边分别相加，并用C：=C：「得2SR(C+C：+C：+・..+CT+C；；)=3“x2”・・・S”=371X2^此方法适用于由等差与对应项之积所组成的数列求和问题，在应用此方法时，首先看数列是否为等比数列；其次耍找出公比，式子的两边同时乘等比数列的公比。二、裂项求和法把数列的通项拆成两项之差，这是分解与组合思想在数列求和的具体应用。顾名思义裂项法就是
6、把数列的每一项按此方法拆成两项之差，达到求和的一种方法。在求和时一些止负各项相消，于是丽5项和和变成首末若干少数项Z和。通项分解（裂项）女口：（一）111~~—■/?(/?+1)n”+1（二）（2/J亀+1）八乂丄F缶）（三）例3.求数列丄，丄，丄,……—1—,……的前n项和{&}1x32x43x5n[n+2）0,1分析：考杳裂项相消法求和及分析问题和解决问题的通项公式的形式，可考虑采用裂项相消法求和。解因为1n(n+2)例4.求数列224262Ix3,3x5‘5x7的前兄项和{$”}所以11_2n+22n+41+<11、++(11]2L3丿J4,5〃
7、+2丿丄(1+丄一-一-i2V2n+1n4分析：该数列的分了是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分了凑分母的方法，化简分式，然后再拆项有：⑵”2二(2疔-1+1二]1二]142(2n-1)(2/?+1)(2/?-l)(2n+1)(2/?-1)(2/?+1)2In-12n4-1_+丄+..・+——凹=ll+-(---)J+[l+-(---)J+«[l+-()]”1x33x5(In-1)(2/?+1)21323522n-l2/?+11八1、2n[n+1)二72+—(1)=22/1+12^+1三、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也
8、不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等茅、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加即可。例5.数列｛an｝的前n项和S”=2%-1,数列｛bn｝满%=3,仇+]=〜+仇(“wM)o(1)证明数列｛碍｝为等比数列(2)求数列｛仇｝的前料项和7；解析:(1)由Sn=2an-lmgTV*,5W+I-1两式相减得:an+｛=2an+i-2an/.an+l=2an,neN*同％=1知％工0・••纽=2同定义知也〃｝是首项为1,公比为2的等比数列(2)①严2「齢严2”"+仇几―b2-b｝=2b3-b2=2*,/?4-b3=22,•••bn-b
9、n_｛=等式左、右两边分别相加得1_1b,詁+2°+2i+・・・+2"一2=3+=2心+2,”
